Oi, Leonardo,
Aumente sua coleção com
http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc (você vai gostar) e
verá que o uso da "desigualdade das médias" (como você usou) e a
desigualdade de Schwarz é uma forma extremamente eficaz para provar
desigualdades "olímpicas" não muito cabeludas...
Nehab
At 22:46 24/8/2006, you wrote:
Caros amigos da lista...
Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
gostaria de ver outras soluções também)
1) (Canadá 2002) a,b ec reais maiores que 0 prove:
a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= a+b+c
fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab e a^3/bc + c^3/ab
teremos: a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
com igualdade sss a=b=c.
2) (Rússia 1995) (x,y>0)
1/(xy) >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)
sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y temos 1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
multiplica-se x em ambos os membros
1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos 1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.
3) (Hungria 1996) (a+b=1, a,b>0)
a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3
Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
vem:
1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4 que o devemos provar,
mas isto eh d fato resultado de MA-MG de a+b=1 >= 2sqrt(ab).
grato desde já..
Leonardo Borges Avelino
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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