[obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequê ncia de fibonacci e análogas(x)

[Carlos Nehab]

Oi, Ponce (saudades) e eventuais adoradores de Fibonacci (me incluo)... To meio fora do ar por absoluta falta de tempo, mas Fibonacci... é demais...  Para quem gosta, ai vai a abordagem desta sequencia através da função geradora (série)...  Dá vários "sambas".  Dentre eles "o termo geral" para f(k) ... Seja F(x) =  f(1) + f(2)x + f(3).x^2 + ...+ f(n+1).x^n + ....,     (1) ou seja, uma série onde os coeficientes são f(k), ou seja, os "fibonacci". De (1) xF(x) = f(1).x + f(2)x^2 + f(3).x^3 + ...+ f(n+1).x^(n+1) + ....,          (2) x^2.F(x) = f(1).x^2 + f(2)x^3 + f(3).x^4 + ...+ f(n+1).x^(n+2) + ....,     (3) De (1), (2) e (3), obtemos, usando f(k+1) = f(k) + f(k-1), a relação: F(x) - xF(x) - x^2.F(x) = x Logo F(x) = - x/( x^2 - x - 1 ) Como x^2 - x - 1 possui raizes  a = (1 + raiz(5))/2  e b = (1 - raiz(5))/2 podemos escrever F(x) como (após algumas continhas, para quem lembra como "decompor" frações racionais) F(x) = 1/raiz(5). soma [ (a^k-b^k). x^k ]  ou seja, f(k) = 1/raiz(5) .  (a^k-b^k) E é claro, então, uma boa aproximação para f(k) é naturalmente 1/raiz(5). [ (1+ raiz(5))/2 ] ^k Abraços, Nehab Rogerio Ponce escreveu: Ola' Rodrigo, nao e' variacao da mesma suposicao. O que o Renji fez foi supor que o termo geral da Fibo pudesse ter a forma de uma combinacao linear de "b^n" . Baseado nesse "pseudo chute" (nao e' chute: mais adiante o Renji deduziu isso, usando uma tecnica de equacoes de diferencas), ele chegou aos valores necessarios para que o termo geral fosse verdadeiro. Ja' com o termo geral na mao, fica facil calcular a relacao entre 2 termos consecutivos, e ver que ela converge para o tal limite. O assunto a ser dominado e' Equacoes de Diferencas Finitas. []'s Rogerio Ponce Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Entendi, é uma variação da mesma suposição: suponha que para n suficientemente grande, as razões a_n/a_(n-1), a_(n+1)/a_n, a_(n+2)/a_(n+1)... guardem uma mesma proporção, chamada phi, o que significa que para achar o termo seguinte multiplicamos o antecedente por phi, já que a_n/a_(n-1)=phi ==> a_n=phi*a_(n-1), isto implica uma sequência phi, phi^2, phi^3,...,phi^n, daí sua formulação, eu a entendi ! Minha dúvida, acho que é mais uma questão de lógica, é: você chegou ao valor do limite SUPONDO q ele exista, quando você não sabe a priori se ele existe ou não. em outras palavras: supor que ele exista, e em decorrência disso achar um valor definido para ele, faz PROVA de sua existência? ou ainda de outra forma: supor a existência de algo em matemática, a partir dessa suposição chegar a uma certa conclusão (algo=x) sem contradições, faz prova da veracidade? se a suposição fosse falsa necessariamente eu acharia uma contradição? é que eu construí uma prova sem usar nenhuma suposição de existência, apenas a partir da definição f(n+2)=f(n+1)+f(n), o que é "dado"... mas acho q foi um furo de lógica da minha parte não ter seguido o caminho menos braçal (inexperiência com provas lógicas) abraços ----- Mensagem original ---- De: Rodrigo Renji <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 21:15:57 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas Rodrigo, você esta falando da forma geral dos termos da sequência de fibonacci? se for ela pode ser deduzida assim a sequencia de fibonacci satizfas a recorrencia f(n+2)=f(n+1)+f(n) com condições iniciais f(0)=1=f(1) (ou f(1)=f(2)=1) um meio é chutar uma solução do tipo f(n)=b^n ficando com b^(n+2)=b^(n+1)+b^(n) b^n .b² =b^n. b + b^n, queremos b^n diferente de zero dai temos b²=b+1 b²-b-1=0 então b=[1+ou -raiz(5)]/2 logo as soluções ficam f(n)=c1.b1^n +c2.b2^n, onde b1 e b2 são as soluções da equação do segundo grau acima c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas pelas condições iniciais da recorrencia, que no caso seriam f(0)=1=f(1), tendo essas informações se chega na formula geral da sequencia de fibonacci tenho outro meio de chegar na mesma resposta usando operadores Delta vou definir assim Df(n)=f(n+1)-f(n) e o operador expansão Ef(n)=f(n+1) E²f(n)=f(n+2) é possivel fazer o seguinte f(n+2)=f(n+1)+f(n) E²f(n)=Ef(n)+f(n) (E²-E-1)f(n)=0 que pode ser fatorado (E-b1)(E-b2)f(n)=0 as soluções são f(n)=c1.b1^n+c2.b2^n pois os operadores (E-b1)(E-b2), ZERAM esse tipo de função abraços Em 28/11/07, Rodrigo Cientista<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1) Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça! Supondo que o limite existe, ele é igual a phi, mas eu não sei se ele existe, então não entendi como usar a suposição da sua existência na prova de sua própria existência. Eu não deveria, por exemplo, supor que ele não existe e identificar a contradição decorrente dessa suposição (uma forma de prova)? Eu nunca tinha visto a fórmula que você apresentou... chegou-se a essa fórmula sem supor a existência do limite? Me perdôe se a pergunta é tôla, sou apenas um amador... Aguardo comentários Não entendi. A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente). Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe o limite lim a_(n+1)/a_n. Se for isso, segue facilmente da fórmula a_n = A phi^n + B phib^n onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2. Como phi > 1 e -1 < phib < 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 + (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0. Assim lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi. On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência "feia" a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an ==> L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Abra sua conta no Yahoo! 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