Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode ser
generalizado):
a) (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs: com
+- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n--> infinito, +-5/[(an)*(an-1)]--> 0, e
(an)/(an-1)--> (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)--> razão áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 ==> (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==>
==> (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==>
==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==>
==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==>
==> (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==> (an-1)^2 =
(an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
OBS: note que qualquer sequência coma regra de formação da sequência de
fibonacci forma um padrão de repetição dos últimos dígitos, mas se
substituirmos +-5 por +-x o resultado final não muda, o que generaliza a prova
para qualquer sequência do tipo de fibonacci
----- Mensagem original ----
De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [email protected]
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 10:19:05
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de
fibonacci e análogas
On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)
>
> Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o
> limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!
Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista.
Recapitulando a demonstração:
Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto
está claro, não?).
Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite
existe e é igual a A).
Calculamos o limite assim:
lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto
é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não
nulo então o
limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado)
lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq
anterior existem e são ambos iguais a phi).
Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o
limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite.
N.
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