Alguém pode enviar algo sobre a série dos reciprocos da sequencia de fibonacci? (convergencia e irracionalidade )
abraços Em 29/11/07, Nicolau C. Saldanha<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência: > > > > Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode > > ser generalizado): > > > > a) (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs: > > com +- quero dizer + ou - > > Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma > > observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato > > é verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1), > > chegando à seguinte expressão: > > > > Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de > a_(n+1) = a_n + a_(n-1). > Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A > phi^n + B phib^n. > Outra é ver que > > [[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] * > [[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]] > donde, tirando determinantes, > > a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2) > > > > (an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] > > > > Usando-se limites, vemos que quando n--> infinito, +-5/[(an)*(an-1)]--> 0, > > e (an)/(an-1)--> (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)--> razão > > áurea. > > > > Usando a própria definição da sequência: > > > > (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1 > > > > (an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 ==> (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==> > > > > ==> (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = > > an-2 ==> > > > > ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==> > > > > ==> (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==> > > > > ==> (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==> > > (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5 > > > > comparando-se a expressão original com esta, > > (an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 > > (an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5 > > > > ou mais geralmente: > > > > (ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n > > > > provando por indução sobre n > > > > Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber: > > > > LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito > > > > LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito > > > > LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n--> infinito é ZERO > > > > NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0 > > > > Assim a prova está completa! > > > > Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser > desnecessariamente complicada). > Você demonstrou que > lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0 > Isto NÃO implica na existência de > lim a_(n+1)/a_n > Para ver isso, considere c_n = log(n). > Temos > lim c_(n+1) - c_n = 0 > mas > lim c_n = +infinito. > > Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto > não garante a convergência da série. > > N. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================