Na realidade, o conjunto A = {(x,y) em R^2 : x > 0, y > 0, x e y irracionais e
x^y racional} nao eh enumeravel.
Para cada transcende x > 0 fixo, a função f(t) = x^t, t > 0, eh continua e seu
conjunto imagem eh (1, oo), se x > 1, ou (0, 1), se 0 < x < 1. Fixemos um
racional r em, digamos, (1, oo), supondo x > 1. Pelo teorema do valor
intermediario, existe um t para o qual f(t) = x^t = r. Assim, t = log r (base
x), com x > 1. Como esta função logaritmica é estritamente decrescente, para
diferentes valores de x obtemos diferentes valores de t. Verificamos também que
cada um destes números t eh irracional, pois transcendente elevado a racional
não nulo é sempre transcendente. Um raciocínio similar vale se x for um
trannscendente em (0, 1).
Como todo transcendente é irracional, existe, desta forma, uma bijecao entre um
subconjunto de B de A e o conjunto dos trannscendentes positivos. Como este
último não é enumerável, segue-se que B - e, portanto, A - não são enumeráveis.
Vemos, também, que em cada (x,y ) de A, x é transcendente. Se x fosse
algebrico, o teorema de Gelfond/Scheneider implicaria que x^y, contrariamente
aa hipotese, fosse irracional.
Artur
Date: Sun, 5 Apr 2009 02:57:26 -0300
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Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da
Teoria dos Números
Oi, Bouskela,
Este é outro Ponce.... O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais velho mesmo.
Quase tanto quanto eu ... Hahaha.
Abraços,
Nehab
Albert Bouskela escreveu:
Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!
Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que não
se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles existem.
É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
Albert Bouskela
[email protected]
[email protected]
From: [email protected] [mailto:[email protected]] On Behalf
Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: [email protected]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Tome x=y=sqrt(2).
Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional.
Neste caso,
z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2
que é racional, e o problema está resolvido.
^^
2009/4/4 Albert Bouskela <[email protected]>
Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que
x^y é RACIONAL.
Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.
Saudações,
AB
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