Fácil: se vc fizer por congruências, sai direto. As classes de congruência módulo 3 são 0, 1 e 2. 0^2 = 0 1^2 = 1 2^2 = 4 = 1
Pronto, todos os quadrados de números congruentes a 0 mod 3 deixam resto 0 mod 3. Todos os quadrados de todos os outros números deixam resto 1 mod 3. Sem congruências, tb é fácil, só dá mais trabalho (pois essencialmente fazemos a mesma coisa, só "escondemos" a notação de congruências). Todo inteiro a pode ser escrito de uma das três formas a seguir: (1) a = 3k (2) a = 3k + 1 (3) a = 3k + 2 No caso (1) temos: a^2 = 9k^2 = 3*(3k^2), que é múltiplo de 3, o que significa que deixa resto 0 na divisão por 3. No caso (2) temos: a^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1, que é o sucessor de um múltiplo de 3, o que significa que deixa resto 1 na divisão por 3. Finalmente, no caso (3), temos: a^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1, que é novamente o sucessor de um múltiplo de 3, deixando também resto 1 na divisão por 3. Abraço Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [email protected] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/9 jgpreturlan <[email protected]> > Olá! > > Obrigado pela solução proposta, Felipe. Mas ela me traz uma outra > indagação: Você assumiu que n^2 deixa resto 1 ou 0 quando dividido por 3. > Isso pode ser testado facilmente com alguns quadrados perfeitos. Mas como > provar que qualquer quadrado perfeito deixa restos 1 ou 0 quando divididos > por 3? Alguem sabe algo que demonstre isso? > > []'s > João Preturlan. > > > Em 09/04/2009 08:08, *luiz silva < [email protected] >*escreveu: > > > Ola > > Repare que n^2-1 = (n+1)(n-1). Como n é impar, (n+1)(n-1) é múltiplo de 4. > Além disso, n^2 deixa resto 0 ou 1 qo dividido por 3. Como n>3 e primo, > então n^2 deixa resto 1 quando dividido por 3. Assim, n^2-1 deixa resto 0 > qdo dividido por 3. > > Com isso, 3 e 4 (12) dividem n^2-1. > > Abs > Felipe > > --- Em *qui, 9/4/09, jgpreturlan *escreveu: > > De: jgpreturlan > Assunto: [obm-l] número primo... > Para: [email protected] > Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 1:25 > > > > Peço uma ajuda aos caros colegas com a seguinte questão: > > "Dado um número primo N maior que três, prove que (N^2 - 1) é um múltiplo > de 12." > > Desde Já Agradeço! > > João Preturlan. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>========================================================================= > > > ------------------------------ > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top > 10<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/>- > Celebridades<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/>- > Música<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/>- > Esportes<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>========================================================================= >
