Pelo algoritmo de Euclides, todo inteiro n quando dividido por 6, terá uma das formas abaixo:

6k
6k + 1
6k + 2
6k + 3
6k + 4
6k + 5


6k é composto para qualquer k > 0, pois será múltiplo de 6.
6k + 1 pode ser primo, pois mdc(6;1) = 1.
6k + 2 = 2(k+1), é múltiplo de 2.
6k + 3 = 3(k+1), é múltiplo de 3.
6k + 4 = 2(3k+2) é múltiplo de 2.
6k + 5 pode ser primo, pois mdc(6;5) = 1


Veja que só existe um primo da forma 6k + 2, para k = 0.
Veja tambémn que só existe um primo da forma 6k + 3, para k = 0.

6k + 1 pode ser primo. Mas nem todo número dessa forma é primo. (exemplo: k = 4) 6k + 5 pode ser primo. Mas nem todo número dessa forma é primo. (exemplo: k = 5)


Retomando: como todo inteiro tem uma das formas acima, é verdadeiro que todo primo maior que 3 tem a forma 6k + 1 ou 6k + 5 [esse último é equivalente a 6k - 1, pois 6(k-1) + 5 = 6k - 1]

.


On Apr 9, 2009, at 15:36 , luiz silva wrote:

Eu naõ sabia dessa relação.

Aliás, alguém sabe se todo primo pode ser escrito como a soma de outros dois primos, mais ou menos 1 ?

Abs
Felipe
--- Em qui, 9/4/09, Alexandre Kunieda <alexandre.kuni...@gmail.com> escreveu:
De: Alexandre Kunieda <alexandre.kuni...@gmail.com>
Assunto: [obm-l] [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo...
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 14:55

Olá!

Eu pensei em usar o fato de que todo primo maior que 3 pode ser escrito da forma 6k+1 ou 6k-1.

Se temos n=6k+1:
(n-1)(n+1) = 6k(6k+2) = 12k(3k+1)

E para n=6k-1:
(n-1)(n+1) = (6k-2)6k = 12(3k-1)k

Logo, para todo n > 3 primo, teremos que n^2 - 1 é múltiplo de 12.


Abraços,
Alexandre Kunieda

2009/4/9 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br>
Ola.

Pense no seguinte : quais são os restos possíveis numa divisão por 3 ? 0, 1 ou 2.

Agora, um número que deixa resto 0, elevado ao quadrado deixará resto 0; um que deixa resto 1, elevado ao quadrado (3x+1)^2 deixará resto 1 e o que deixa resto 2, elevado ao quadrado deixará (3x+2)^2 resto 1, pois o termo independente de x será 4 = 3 + 1.

Abs
Felipe

--- Em qui, 9/4/09, jgpreturlan <jgpretur...@uol.com.br> escreveu:
De: jgpreturlan <jgpretur...@uol.com.br>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] número primo...

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 12:21

Olá!

Obrigado pela solução proposta, Felipe. Mas ela me traz uma outra indagação: Você assumiu que n^2 deixa resto 1 ou 0 quando dividido por 3. Isso pode ser testado facilmente com alguns quadrados perfeitos. Mas como provar que qualquer quadrado perfeito deixa restos 1 ou 0 quando divididos por 3? Alguem sabe algo que demonstre isso?

[]'s
João Preturlan.



Em 09/04/2009 08:08, luiz silva < luizfelipec...@yahoo.com.br > escreveu:

Ola
Â
Repare que n^2-1 = (n+1)(n-1). Como n é impar, (n+1)(n-1) é múltiplo de 4. Além disso, n^2 deixa resto 0 ou 1 qo dividido por 3. Como n>3 e primo, então n^2 deixa resto 1 quando dividido por 3. Assim, n^2-1 deixa resto 0 qdo dividido por 3.
Â
Com isso, 3 e 4 (12)Â dividem n^2-1.
Â
Abs
Felipe

--- Em qui, 9/4/09, jgpreturlan escreveu:
De: jgpreturlan
Assunto: [obm-l] número primo...

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 9 de Abril de 2009, 1:25

ÂÂ

Peço uma ajuda aos caros colegas com a seguinte questão:

"Dado um número primo N maior que três, prove que (N^2 - 1) é um múltiplo de 12."

Desde Já Agradeço!

João Preturlan.




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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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