Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam.
Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) --> x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 >> r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi beeeem discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior <fgam...@gmail.com> Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
