Resposta rapida, estou meio sem tempo : Hum, tem uma coisa que o processo de Gauss permite calcular facilmente, que é o modulo do determinante da matriz ! Porque se você disser pro computador nao multiplicar nenhuma linha (sem adicionar a uma outra, isso pode, sem problemas), como operaçoes que levam esta linha em outra conservam o determinante por multilinearidade e anti-simetria (uma matriz com duas linhas iguais é de det = 0, e três matrizes com uma linha de uma que é a soma da mesma linha das outras duas, e o resto igual, tem det = soma dos dois dets) no final do processo você tera o sinal do determinante. Se você prestar atençao nas matrizes de permutaçao que você usar (ou seja, calcular o determinante delas) você pode inclusive descobrir o sinal do determinante. Repare que nessa bagunça toda, você pode ter perdido os autovalores, que eles podem mudar bastante no processo. Mas isso nao importa, o determinante é conservado. E é por isso que é importante de estudar Algebra linear, porque muitas das demonstraçoes vêm junto com duas coisas : 1) Idéias interessantes de "invariantes" 2) Algoritmos
E, se você gosta disso, pode se interessar também pela questao da estabilidade numérica do algoritmo, e é por isso que muitas vezes se faz uma normalizaçao para evitar numeros muito grandes ou muito pequenos. E nisso, você inclui mais uma coisa a prestar atençao na hora de calcular o determinante (tem que pensar nao soh nas matrizes de permutaçao, mas também nas matrizes de normalizaçao). Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/11 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com>: > Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se > bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais > santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha > idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco > daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. > > > > Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: > > > > O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, > para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma > matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. > Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja > diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) --> x(n) > = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). > > > > Vantagens do método de Gauss: > > É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); > > Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é > importantíssimo para as aplicações práticas); > > Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais > linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é > muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., > 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. > > > > Desvantagens: > > Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. > > > > Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então > devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do > método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente > requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. > > > > Observações: > > [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é > a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F > é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o > cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). > > > > [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente > preponderante: r(i, i)^2 >> r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, > a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é > facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). > > > > [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento > estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso > próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o > tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e > devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a > história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da > matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da > estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra > lá... > > > > Sds., > > Albert Bouskela > > bousk...@gmail.com > > bousk...@ymail.com > > > > From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On > Behalf Of Bruno França dos Reis > Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: Re: [obm-l] Matrizes > > > > Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? > > Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) > EXATAMENTE essa questão foi beeeem discutida num tema lançado por você > mesmo! > > Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. > > Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É > a discussão anterior. > > Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe > seus autovalores na sua diagonal principal. > > Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra > nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de > Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou > 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não > quadradas. > > Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, > então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande > absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) > > > A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar > a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que > eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades > de dependência linear. > > Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o > conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa > que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o > polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o > x para te ajudar no cálculo. > > > Ficou claro? > > Bruno > > -- > Bruno FRANÇA DOS REIS > > msn: brunoreis...@hotmail.com > skype: brunoreis666 > tel: +33 (0)6 28 43 42 16 > > http://brunoreis.com > http://blog.brunoreis.com > > GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key > > e^(pi*i)+1=0 > > 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior <fgam...@gmail.com> > > Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. > C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular > superior). > > > Fernando Gama ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
