Talvez o dilema seja o seguinte: aplicar o metodo de Gauss EM QUEM?
Eh possivel aplicar o metodo de Gauss aa matriz A-lambda.I; acho que
era isso que o professor da Unicamp tava pensando... Com isso, voce
calcula o determinante de A-lambda.I e, portanto, o polinomio
caracteristico, cujas raizes sao os autovalores. Note-se que, como tem
uma variavel lambda no meio da matriz, voce tem que tomar cuidado --
antes de dividir por qualquer coisa que tenha lambda no meio, voce
frequentemente tem de pensar se essa coisa pode ser zero.
Agora, o Bruno tem razao: se voce aplicar o metodo de Gauss direto na
matriz A, as operacoes de linha MUDAM os autovalores, entao nao
adianta nada, como nos exemplos que ele mostrou.
Abraco,
Ralph
2009/4/11 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>:
> Resposta rapida, estou meio sem tempo :
>
> Hum, tem uma coisa que o processo de Gauss permite calcular
> facilmente, que é o modulo do determinante da matriz ! Porque se você
> disser pro computador nao multiplicar nenhuma linha (sem adicionar a
> uma outra, isso pode, sem problemas), como operaçoes que levam esta
> linha em outra conservam o determinante por multilinearidade e
> anti-simetria (uma matriz com duas linhas iguais é de det = 0, e três
> matrizes com uma linha de uma que é a soma da mesma linha das outras
> duas, e o resto igual, tem det = soma dos dois dets) no final do
> processo você tera o sinal do determinante. Se você prestar atençao
> nas matrizes de permutaçao que você usar (ou seja, calcular o
> determinante delas) você pode inclusive descobrir o sinal do
> determinante. Repare que nessa bagunça toda, você pode ter perdido os
> autovalores, que eles podem mudar bastante no processo. Mas isso nao
> importa, o determinante é conservado. E é por isso que é importante de
> estudar Algebra linear, porque muitas das demonstraçoes vêm junto com
> duas coisas :
> 1) Idéias interessantes de "invariantes"
> 2) Algoritmos
>
> E, se você gosta disso, pode se interessar também pela questao da
> estabilidade numérica do algoritmo, e é por isso que muitas vezes se
> faz uma normalizaçao para evitar numeros muito grandes ou muito
> pequenos. E nisso, você inclui mais uma coisa a prestar atençao na
> hora de calcular o determinante (tem que pensar nao soh nas matrizes
> de permutaçao, mas também nas matrizes de normalizaçao).
>
> Um grande abraço,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> 2009/4/11 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com>:
>> Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se
>> bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais
>> santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha
>> idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco
>> daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam.
>>
>>
>>
>> Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas:
>>
>>
>>
>> O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente,
>> para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma
>> matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente.
>> Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja
>> diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) --> x(n)
>> = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1).
>>
>>
>>
>> Vantagens do método de Gauss:
>>
>> É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas);
>>
>> Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é
>> importantíssimo para as aplicações práticas);
>>
>> Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais
>> linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é
>> muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex.,
>> 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD.
>>
>>
>>
>> Desvantagens:
>>
>> Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3].
>>
>>
>>
>> Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então
>> devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do
>> método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente
>> requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss.
>>
>>
>>
>> Observações:
>>
>> [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é
>> a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F
>> é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o
>> cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios).
>>
>>
>>
>> [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente
>> preponderante: r(i, i)^2 >> r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos,
>> a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é
>> facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento).
>>
>>
>>
>> [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento
>> estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso
>> próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o
>> tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e
>> devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a
>> história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da
>> matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da
>> estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra
>> lá...
>>
>>
>>
>> Sds.,
>>
>> Albert Bouskela
>>
>> bousk...@gmail.com
>>
>> bousk...@ymail.com
>>
>>
>>
>> From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
>> Behalf Of Bruno França dos Reis
>> Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: Re: [obm-l] Matrizes
>>
>>
>>
>> Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo?
>>
>> Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro)
>> EXATAMENTE essa questão foi beeeem discutida num tema lançado por você
>> mesmo!
>>
>> Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto.
>>
>> Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É
>> a discussão anterior.
>>
>> Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe
>> seus autovalores na sua diagonal principal.
>>
>> Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra
>> nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de
>> Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou
>> 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não
>> quadradas.
>>
>> Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste,
>> então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande
>> absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?)
>>
>>
>> A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar
>> a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que
>> eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades
>> de dependência linear.
>>
>> Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o
>> conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa
>> que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o
>> polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o
>> x para te ajudar no cálculo.
>>
>>
>> Ficou claro?
>>
>> Bruno
>>
>> --
>> Bruno FRANÇA DOS REIS
>>
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>> tel: +33 (0)6 28 43 42 16
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>> http://brunoreis.com
>> http://blog.brunoreis.com
>>
>> GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
>>
>> e^(pi*i)+1=0
>>
>> 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior <fgam...@gmail.com>
>>
>> Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*.
>> C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular
>> superior).
>>
>>
>> Fernando Gama
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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