Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas,
uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo.
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Resposta comprida:
EM DIMENSÃO 1 (na reta)
Um "cubo" de "lado" 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma "esfera"
interessante, que passa pelos 2 "vértices" -- é a esfera de centro 1/2
e diâmetro 1.
Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há
diferença entre "cubos" e "esferas" -- ambos são intervalos.
EM DIMENSÃO 2 (no plano)
Um cub.... isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas
esf... quer dizer, círculos interessantes:
-- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1;
-- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2).
EM DIMENSÃO 3 (no espaço)
O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 "interessantes":
-- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1;
-- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita...
arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine
com "crita"): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas
paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face)
-- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices
(curcunscrita): diâmetro raiz(3).
Por que parar aqui?
EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço):
O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais:
-- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço
3D): diâmetro 1;
-- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2);
-- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3);
-- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2.
Por que parar aqui?
DIMENSÃO n:
Cubo=[0,1]^n
A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) "faces" (cada um com dimensão
n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas
"legais".
(Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...)
---///---
Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me
deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito
tempo atrás.
Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a
resposta do exercício 1.
Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4
circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice,
cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom,
sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma
circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do
meio. Qual o raio dela?
Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de
diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e
3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio,
entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele
espacinho do meio. Qual o raio dela?
...
Exercício 9. Num "supercubo" de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever
2^9=512 "superesferazinhas" de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras
e 9 "faces", do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no
meio, entre as 512, né? Ponha uma "superesferazinha" tangente a todas
as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela?
Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: (raiz(9)-1)/4=1/2
Conclusão: Em dimensão 9, aquele "espacinho" é tão imenso que a tal da
"esferinha" que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO
(pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9,
fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar
ainda mais a dimensão, a tal da "esferazinha" do meio aumenta ainda
mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do
supercubo!
Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :)
Abraço,
Ralph
2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <wtade...@gmail.com>:
> Amigos da lista
>
> Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo,
> a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a
> metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a
> diagonal do mesmo.
> Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual
> seria o raio?
> Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e
> circunscrição?
> Abraços
>
> --
> Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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