Ralph, muito muito muito muito legal o que você escreveu. E só pra não perder o hábito, aqui vai mais uma legal sobre esferas versus cubos :
Problema : Veja os exercícios e adivinhe o que a gente vai fazer ! Exercício 1 : um "cubo" em dimensão 1 e lado 2 é o segmento [-1,1]. Curiosamente, a bola em dimensão 1 e raio 1 também dá a mesma coisa. Exercício 2 : em dimensão 2, o cubo é ... bom, um quadradinho, [-1,1]x[-1,1]. Mas a bola de raio 1 é um disco, e é menor do que o quadrado. A razão entre as áreas é pi / 4 < 1, entre os comprimentos do bordo é 2 pi / 2*4 = pi/4 Exercício 3 : em dimensão 3, o cubo é ... o cubo ! A bola (que é uma bola também !) continua sendo menor do que o disco. A razão entre os volumes é 4/3 pi / 8 = pi / 6, entre as superfícies de bordo, 4pi / 4*6 = pi/6 ... Exercício n : em dimensão n, o cubo é um hipercubo. A bola, uma hiperbola, ou "bola" mesmo (dependendo da escola, preferência, etc e tal, não discriminamos). A razão entre os volumes é (fórmula mágica) / 2^n, entre as superfícies é (outra fórmula mágica) / 2^(n-1) * (2n), o que dá a mesma coisa !! Mas, melhor ainda, vemos que a fórmula mágica dá, para dimensão *par* = 2m, um volume da esfera unitária igual a pi^m / m!. Ou seja, o volume da bola tende a zero. Aliás, o de qualquer bola, uma vez que o volume para um raio = r, teremos (em dim=2m para facilitar, o caso ímpar é intermediário) (pi * r^2)^m / m! que dá aproximadamente ((pi * r^2 * e)/n )^n, e se n é beeeeeeeeeeeeeem grande, é maior do que pi r^2 e, e daí em diante o volume diminui. Não precisa nem dizer que (como parece óbvio) que o volume do cubo de lado 2 tende a mais infinito. Primeira "moral" : o "centro" do cubo, formado pelos pontos dentro da esfera, tem volume cada vez menor se comparado com os "cantinhos" que sobram a cada vez que a gente aumenta a dimensão, pois são eles que fazem o cubo sempre ter um volumão ! Portanto, pode parecer estranho, mas o que a gente acha que é "um pouquinho" porque estamos muito mais acostumados com os desenhos em dimensão 2, é na verdade bem maior em dimensão maior !! Segunda "moral" : Comparando essa construção (de uma esfera inscrita) com a do Ralph (de 2^n esferinhas inscritas), temos uma prova que não somente nos "cantinhos" do cubo tem espaço pra burro, mas ao mesmo tempo, não cabe quase nada em esferinhas, que ficam longe pra dedéu, mesmo que os "cantinhos" sejam eles adjacentes (pense que são as 2^n partes iguais do cubo determinadas pelos cortes dos planos coordenados, cada esferinha está num cubinho desses). Pois, como o Ralph disse, em dimensão maior do que 9 a "esferinha no meio" é na verdade maior do que as outras esferas dentro do cubo, e na verdade até sai do dito cujo. Prova que, para tangenciar as esferinhas inscritas, tem que ser beeeeeeeeeeeeeeem grande. Ou seja, os cubinhos tão colados, mas as esferinhas dentro deles, tão cada vez mais longe, e os cubinhos tem um volume cada vez maior, mas as esferinhas cada vez menor. Não é louco ? Exercício bônus : calcular as integrais de (sen x)^2n e (sen x)^(2n+1), usando 1 = sen^2 x + cos^2 x e integração por partes. Exercício bônus bis : calcular o volume da "esferinha no meio" para todas as dimensões, e ver que ela realmente fica cada vez maior, e em dimensão grande tem um volume maior do que o do cubo inicial ! 2009/4/16 Ralph Teixeira <[email protected]>: > Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, > uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. > > ---///--- > > Resposta comprida: > > EM DIMENSÃO 1 (na reta) > Um "cubo" de "lado" 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma "esfera" > interessante, que passa pelos 2 "vértices" -- é a esfera de centro 1/2 > e diâmetro 1. > Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há > diferença entre "cubos" e "esferas" -- ambos são intervalos. > > EM DIMENSÃO 2 (no plano) > Um cub.... isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas > esf... quer dizer, círculos interessantes: > -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; > -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). > > EM DIMENSÃO 3 (no espaço) > O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 "interessantes": > -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; > -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... > arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine > com "crita"): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas > paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) > -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices > (curcunscrita): diâmetro raiz(3). > > Por que parar aqui? > EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): > O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: > -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço > 3D): diâmetro 1; > -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); > -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); > -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. > > Por que parar aqui? > DIMENSÃO n: > Cubo=[0,1]^n > A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) "faces" (cada um com dimensão > n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas > "legais". > (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) > > ---///--- > > Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me > deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito > tempo atrás. > > Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a > resposta do exercício 1. > > Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 > circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice, > cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, > sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma > circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do > meio. Qual o raio dela? > > Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de > diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e > 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, > entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele > espacinho do meio. Qual o raio dela? > > ... > > Exercício 9. Num "supercubo" de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever > 2^9=512 "superesferazinhas" de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras > e 9 "faces", do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no > meio, entre as 512, né? Ponha uma "superesferazinha" tangente a todas > as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? > > Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: > (raiz(9)-1)/4=1/2 > > Conclusão: Em dimensão 9, aquele "espacinho" é tão imenso que a tal da > "esferinha" que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO > (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, > fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar > ainda mais a dimensão, a tal da "esferazinha" do meio aumenta ainda > mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do > supercubo! > > Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) > > Abraço, > Ralph > > 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[email protected]>: >> Amigos da lista >> >> Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, >> a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a >> metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a >> diagonal do mesmo. >> Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual >> seria o raio? >> Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e >> circunscrição? >> Abraços >> >> -- >> Walter Tadeu Nogueira da Silveira > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
