Valeu! Valeu, mesmo... Estou me recuperando da "viagem" na dimensão 4. Mas como sempre foi legal...
Abraços 2009/4/16 Ralph Teixeira <[email protected]> > Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, > uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. > > ---///--- > > Resposta comprida: > > EM DIMENSÃO 1 (na reta) > Um "cubo" de "lado" 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma "esfera" > interessante, que passa pelos 2 "vértices" -- é a esfera de centro 1/2 > e diâmetro 1. > Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há > diferença entre "cubos" e "esferas" -- ambos são intervalos. > > EM DIMENSÃO 2 (no plano) > Um cub.... isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas > esf... quer dizer, círculos interessantes: > -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; > -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). > > EM DIMENSÃO 3 (no espaço) > O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 "interessantes": > -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; > -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... > arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine > com "crita"): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas > paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) > -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices > (curcunscrita): diâmetro raiz(3). > > Por que parar aqui? > EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): > O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: > -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço > 3D): diâmetro 1; > -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); > -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro > raiz(3); > -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. > > Por que parar aqui? > DIMENSÃO n: > Cubo=[0,1]^n > A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) "faces" (cada um com dimensão > n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas > "legais". > (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) > > ---///--- > > Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me > deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito > tempo atrás. > > Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a > resposta do exercício 1. > > Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 > circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice, > cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, > sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma > circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do > meio. Qual o raio dela? > > Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de > diâmetro 1/2, uma "perto" de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e > 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, > entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele > espacinho do meio. Qual o raio dela? > > ... > > Exercício 9. Num "supercubo" de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever > 2^9=512 "superesferazinhas" de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras > e 9 "faces", do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no > meio, entre as 512, né? Ponha uma "superesferazinha" tangente a todas > as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? > > Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: > (raiz(9)-1)/4=1/2 > > Conclusão: Em dimensão 9, aquele "espacinho" é tão imenso que a tal da > "esferinha" que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO > (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, > fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar > ainda mais a dimensão, a tal da "esferazinha" do meio aumenta ainda > mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do > supercubo! > > Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) > > Abraço, > Ralph > > 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[email protected]>: > > Amigos da lista > > > > Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em > um cubo, > > a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é > a > > metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro > a > > diagonal do mesmo. > > Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual > > seria o raio? > > Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e > > circunscrição? > > Abraços > > > > -- > > Walter Tadeu Nogueira da Silveira > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
