Oi, Macone,
Para desenvolver a intuição dos alunos ainda jovens, eu sou adepto de
"mostrações geométricas" para várias relações desta natureza. Evito
indução, pois muitas vezes mecaniza demais as coisas, sem mostrar a
beleza dos "inteiros" e suas relações maravilhosas.
Há uma "mostração" para a relação que você enviou que é simples e que
faz parte de uma família de problemas clássicos que é a disposição de
inteiros em um "triângulo". Veja: escreva os impares como no
"triângulo" indicado...
*Linha Soma na Linha Triângulo
*
*1 *1 = 1^3 = 1 *1 *
*2 *3+5 = 2^3 = 8 *3 5
*
*3 *7+9+11 = 3^3 = 27 *7 9 11
*
*4 *13+15+17+19 = 4^3 = 64 *13 15 17 19 *
*5 *21+23+25+27+29 = 5^3 = 125 *21 23 25 27 29 *
*... *
*n *????
...
Observe que nesta arrumação, a soma dos inteiros da k-esima linha vale
k^3 e a mostração é imediata:
a) a soma dos X primeiros impares vale X^2,
b) até a linha n há 1+2+...+n impares, ou seja, n(n+1)/2 impares cuja
soma vale [n(n+1)/2]^2.
c) Até a linha n+1 há 1+2+...+(n+1) impares, cuja soma então vale
[(n+1)(n+2)/2]^2.
d) É fácil ver que a diferença entre estas duas soma vale n^3...
Abraços,
Nehab
marcone augusto araújo borges escreveu:
Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
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Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: [email protected]
To: [email protected]
Olá Vanderlei,
eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas
vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!
.... [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos
mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe,
dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)]
abraços,
Salhab
2009/5/1 Vandelei Nemitz <[email protected]
<mailto:[email protected]>>
Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
Obrigado,
Vanderlei
2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]
<mailto:[email protected]>>
Fala Vanderlei,
como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2 .... pk^(a_k)
vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2
dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto,
(n-1)! é um múltiplo de n.
falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único
divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também
está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
espero ter ajudado,
abraços,
Salhab
2009/5/1 Vandelei Nemitz <[email protected]
<mailto:[email protected]>>
Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
*Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que
(n-1)! é múltiplo de n.*
Obrigado
Vanderlei
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