Re: [obm-l]

[lucianarodriggues]

Em 19/05/2009 09:54, Carlos Nehab < ne...@infolink.com.br > escreveu:

Oi, Samuel, Ralph e demais colegas (e Arthur, que faz muita falta por
aqui e anda sumido...),

Cutucando:

Admitindo que a função f seja contínua vale a propriedade?

Seja f:R->R uma funcao CONTINUA EM R e "a" um real tal que f(ax)=af(x),
para todo x real.
Podemos afirmar que há A real tal que f(x)=Ax, para todo x (real) ?

E se enfraquecermos a hipótese para "f contínua em x =0", apenas?

Prove-se ou exiba-se contra-exemplo :-) ....

Abraços,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:
> Oi, Samuel. A pergunta eh boa. A resposta... Bom, depende:
>
> ENUNCIADO 1: "Seja f:R->R uma funcao e a um numero real fixo. Suponha
> que f(ax)=af(x) para todo x real. Entao f(x)=Ax para a lgum A fixo."
>
> FALSO. Por exemplo, sejam f(x)={3x se x eh racional; 7x se x eh
> irracional} e a=2. Note que vale f(2x)=2f(x) para todo x, mas f nao eh
> linear.
>
> ENUNCIADO 2: "Seja f:R->R uma funcao. Suponha que f(ax)=af(x) para
> quaisquer a,x reais. Entao f(x)=Ax para algum A fixo."
>
> VERDADEIRO. Basta tomar x=1 e notar que f(a)=f(1).a para todo a real,
> isto eh, f(x)=f(1).x para todo x real. Entao A=f(1).
>
> Abraco,
> Ralph
>
> 2009/5/18 Samuel Wainer > >
>
> Se f:R->R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas
> o recíproco é verdadeiro?
> f(ax)=af(x) => f(x)= Ax ?
>
> grato
>
>
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>
>
>


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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