Ora, ora...
Quero crer que você está na "cinquentésima" olimpíada de matemática,
certo?
Então fique ai até setembro/outubro
:-) , para o festival da cerveja de Bremen, que é
imperdível.... :-) :-(
Abração,
Nehab
Ralph Teixeira escreveu:
Oi, Pedro.
Sua solucao me parece clara, limpa e correta. Eu passei um tempo aqui
procurando o erro da minha, jah que eu tinha feito do jeito complicado
e nao natural (tipo "esvazie o balde e recaia no caso anterior", para
quem conhece a piada). Levei varios minutos ateh perceber que as
nossas respostas NAO sao diferentes... :P :P :P :P
(E obrigado, eh sempre bom saber que alguem le minhas... prolixidades...)
Abraco,
Ralph (de Bremen, onde ontem vimos o Tao, o Yoccoz, o
Bollobas, o Gowers, o
Lovasz, o Smirnov, e o Reiher, todos no palco ao mesmo tempo)
P.S.: Acho que vou colocar no meu sig "Talvez *alguem* leia isso." :)
2009/7/20 Pedro Cardoso <pedrolaz...@hotmail.com>:
Sobre o problema C do Ralph, em que eu tentei por todas as informações
necessáias,
pra quem pegar a conversa no meio não ter que ficar adivinhando algumas
coisas.
PROBLEMA C
Temos inicialmente 3 caixas,
caixa 1 com 2 moedas de ouro (O1O2),
caixa com 2 moedas de prata (P1P2),
e caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
que eh reposta na sua caixa (ou não, pois não faz diferença). Novamente,
escolhe-se uma caixa ao acaso, DIFERENTE da primeira caixa, e retira-se uma
SEGUNDA moeda. Sabendo que a primeira moeda eh de ouro, qual a chance de a
segunda ser de ouro tambem?
---------------------------------
Bom, no caso as possibilidades de se tirar duas moedas de ouro são:
o1o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (escolho caixa 1, escolho o1; escolho caixa 2,
escolho o3)
o3o1 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
o2o3 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
o3o2 = 1/3*1/2 * 1/2*1/2 (parecido)
Somando tudo, dá 1/3 * 1/8 * 4 = 1/6
Daí, ainda usando as nomenclaturas do Ralph,
P(OO|OX) = 1/6 / 1/2 = 1/3.
Vejam aí se não errei alguma coisa.
Enfim, Ralph, com a sua explicação sobre o PROBLEMA B, acho que ficou
bem mais fácil.
Aliás, só para te encorajar a continuar: eu aposto que bastante
gente lê os e-mails que você escreve, inclusive aqueles em que você diz algo
como
"Talvez ninguém leia isso". Aprendi bastante coisa de combinatória com
você. Obrigado mesmo!
Date: Wed, 15 Jul 2009 04:19:40 -0300
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
(adaptado)
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi, Claudio.
Explica um pouquinho melhor a variacao que voce estah pedindo.... Digo
isso porque, no problema original, nao ha uma segunda moeda sendo
RETIRADA. No original, a pergunta eh "se a moeda retirada eh de ouro,
qual a chance de a outra moeda DESTA MESMA CAIXA ser de ouro tambem?".
Ela nem retirada eh....
Se voce vai retirar uma segunda moeda, tem de explicar COMO a segunda
retirada eh feita. Entao vejamos: temos inicialmente 3 caixas, caixa 1
com 2 moedas de ouro (O1O2), caixa com 2 moedas de prata (P1P2), e
caixa 3 com uma moeda de cada (O3P3).
PROBLEMA A: Escolhe-se uma caixa ao acaso, e seleciona-se uma moeda,
que eh reposta na sua caixa. Novamente, escolhe-se uma caixa ao acaso,
independentemente da primeira escolha, e retira-se uma SEGUNDA moeda.
Sabendo que a primeira eh de ouro, qual a chance de a segunda ser de
ouro tambem?
RESPOSTA: Retiradas independentes, entao a informacao da primeira
moeda nao diz nada. Resposta 3/6=1/2.
PROBLEMA B: Idem ao A, mas a primeira moeda nao eh reposta.
RESPOSTA: Fica melhor se desenhar uma arvore com quase 36 ramos...
Bom: ha 6 maneiras de tirar duas moedas de ouro: O1O2, O2O1, O1O3,
O2O3, O3O1, O3O2. As duas primeiras somam 1/9 (escolher caixa 1 duas
vezes); as duas proximas somam 1/3.1/3.1/2 (caixa 1, depois caixa 2,
moeda O3); e a terceira tem probabilidade 1/3.1/2.1/3. Somando tudo,
Pr(OO)=2/9.
Agora, a probabilidade da primeira moeda ser de ouro eh 1/2. Entao, a
probabilidade pedida eh Pr(OO|OX)=(2/9)/(1/2)=4/9.
Outra maneira de fazer: a primeira moeda veio da caixa com OO com 2/3
de chance; neste caso, a chance da segunda ser O eh 1/3+1/3.1/2=1/2
(na segunda retirada, 1/3 de pegar a mesma caixa, e 1/3 de pegar a
caixa OP). Se a primeira veio de OP, a segunda soh eh se voce
escolher a caixa OO, isto eh, 1/3 de chance. Juntando tudo:
Pr(OO|OX)=2/3.1/2+1/3.1/3=4/9
PROBLEMA C: A segunda caixa TEM DE SER DIFERENTE DA PRIMEIRA; neste
caso nao faz diferenca se a primeira moeda eh reposta ou nao.... Deixo
esse pra voces. Resposta: 2/3.1/4+1/3.1/2=1/3.
Abraco, Ralph.
2009/7/14 Claudio Dias <claudiomd...@hotmail.com>:
Oi, Walter.
O problema original é dessa forma( resposta 2/3). Ele acaba induzindo a
mesma caixa. Mas se não tivesse que ser da mesma caixa. Explo. a
primeira
retirada era da segunda caixa e a segunda da primeira ou a primeira
retirada
é da caixa 1 e a segunda da caixa 2. Esse foi o questionamento.
________________________________
Date: Tue, 14 Jul 2009 21:22:18 -0300
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
(adaptado)
From: wtade...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi, Claudio
A pergunta não se resumiria em "Se a moeda selecionada é de ouro, qual
a
probilidade de ser da caixa 1?".
Tentei fazer a árvore e saiu assim:
Ramo 1: P(cx1).P(ouro) = (1/3). (1) (seleciona a caixa 1 e sempre sai
ouro)
Ramo 2: P(c2).P(ouro) = (1/3).(1/2) (seleciona a caixa 2 e sai um ouro
com)
Ramo 3: P(cx3).P(ouro) = (1/3).(0) (seleciona a caixa 3 e não tem ouro)
P(ouro) = (1/3).(1)+(1/3).(1/2) = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
P(cx1/ouro) = P(cx1 e ouro)/P(ouro) = (1/3)/(1/2) =2/3
Fiz besteira?
Abraços
2009/7/14 Fabio Bernardo <prof_fabioberna...@yahoo.com.br>
Vc só esqueceu de postar o problema... Rs...
----- Original Message -----
From: Claudio Dias
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, July 14, 2009 12:28 PM
Subject: [obm-l] Probabilidade- problema das moedas de Bertrand
(adaptado)
Caros colegas da lista.
Essa semana me deparei com o problema de probabilidade sobre as moedas
de
Bertrand. No momento da sua resolução, fui questionado sobre a
possibilidade
da segunda moeda, não necessariamente, ser da mesma caixa. Pensei em
trabalhar a probabilidade condicional na união das três caixas ( C1 U C2
U
C3 ), ou seja, P(C1 U C2 U C3 / O). Achei 8/9. É possível?
Tentei fazer uma árvore e não obtive esse resultado.
Desde já, agradeço a oportunidade de discussão.
Claudio Dias
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