Suponha que x1<=x2<=x3<=...<=xn (sem perda de generalidade).
Eh mais ou menos claro que o a minimizante estah entre x1 e xn, neh? Afinal,
se a<x1, entao cada termo |xi-a| diminui trocando a por x1.
Entao conclui-se que x1<=a<=xn.
Mas pegando os termos das pontas, note que |x1-a|+|xn-a|=xn-x1 eh constante
sempre que x1<=a<=xn. Entao, tomando a entre x1 e xn, a soma destes dois
termos nao se modifica. Para procurar o a minimizante, podemos descarta-los.
Mas ai ficamos com o mesmo problema incluindo apenas x2,x3,...,x_(n-1).
Jah viu -- repita o raciocinio, conclua que x2<=a<=x_(n-1), descarte os
termos em x2 e x_(n-1) pois, neste intervalo, a soma deles eh constante.
Depois elimine x3 e x_n-2, etc...
Conclusao -- se o numero de termos for impar, voce acaba ficando soh com
|xm-a| onde xm eh o termo do meio. Para minimizar isto, a=xm.
Se o numero de termos for par, voce fica com os dois termos do meio
|xm-a|+|x(m+1)-a|; neste caso, qualquer valor de a entre xm e x(m+1) eh
igualmente minimizante, o somatorio tem um "plato constante" ali. Entao,
para ser exato, a mediana eh apenas UM dos numeros que minimiza o somatorio.
Abraco,
Ralph
2010/1/25 Guilherme Neves <[email protected]>
> Como provar que o desvio absoluto médio é mínimo quando calculado a partir
> da mediana?
>
> Considere a lista de números (x1,x2,x3,x4,...,xn)
>
> O somatório |x1-a|+|x2-a|+|x3-a|+|x4-a|+...+|xn-a| é mínimo quando a é a
> mediana da lista de números (x1,x2,x3,x4,...,xn)
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