Olá!
Por Indução Finita, é fácil verificar que:
Se n é múltiplo de 5, então 111...111 (com n dígitos iguais a 1) é
múltiplo de 41.
Lá vai:
1. Verifica-se que 11111 é múltiplo de 41 (271x41=11111).
2. Hipótese de Indução: [111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n
múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
3. Então, mostra-se que:
{[111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n múltiplo de 5)]*10^5 + 11111}
é múltiplo de 41.
Fácil: [111...111 (com n dígitos iguais a 1, n múltiplo de 5)]*10^5 é
múltiplo de 41 (decorre imediatamente da própria Hipótese de Indução); e
11111 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
Falta verificar que:
Se n é igual a (5m + k, k=1, 2... 4), então 111...111 (com n dígitos
iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil...
Albert Bouskela
[email protected]
De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em nome
de Pedro Júnior
Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
---------- Mensagem encaminhada ----------
De: Pedro Júnior <[email protected]>
Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
Assunto: Repunit
Para: obm-l <[email protected]>
Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
somente se n é divisível por 5.
Desde já agradeço!!!
Abraços.
Pedro Jr
