Novamente, olá!
Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a mesma metodologia Albert Bouskela [email protected] De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em nome de Albert Bouskela Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34 Para: [email protected] Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit Olá! Por Indução Finita, é fácil verificar que: Se n é múltiplo de 5, então 111...111 (com n dígitos iguais a 1) é múltiplo de 41. Lá vai: 1. Verifica-se que 11111 é múltiplo de 41 (271*41=11111). 2. Hipótese de Indução: [111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n múltiplo de 5)] é múltiplo de 41. 3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução Finita): {[111...111 (com n dígitos iguais a 1 e n múltiplo de 5)]*10^5 + 11111} é múltiplo de 41. Fácil: [111...111 (com n dígitos iguais a 1, n múltiplo de 5)]*10^5 é múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e 11111 é múltiplo de 5 (ver passo 1). Falta verificar que: Se n é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com n dígitos iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41. Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil... Para k=4: n = 5m + 4 a. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi verificado acima, já que 5m é obviamente múltiplo de 5. b. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41) c. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 d. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver passo c); 1111 = 41*27 + 4 e. [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 = 41(p+27) + 4 f. Logo, [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 tem resto 4 na divisão por 41. Logo, [111...111 (com 5m dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 NÃO é múltiplo de 41. Agora, é só fazer para k=1, 2, 3. Albert Bouskela [email protected] De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em nome de Pedro Júnior Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit ---------- Mensagem encaminhada ---------- De: Pedro Júnior <[email protected]> Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01 Assunto: Repunit Para: obm-l <[email protected]> Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e somente se n é divisível por 5. Desde já agradeço!!! Abraços. Pedro Jr
