Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1 pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5 (10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se, e somente se, n é divisível por 5.
[]'s Cesar 2010/2/18 Albert Bouskela <bousk...@msn.com>: > Novamente, olá! > > > > Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a mesma > metodologia > > > > Albert Bouskela > > bousk...@msn.com > > > > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome > de Albert Bouskela > Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit > > > > Olá! > > > > Por Indução Finita, é fácil verificar que: > > > > Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é > múltiplo de 41. > > > > Lá vai: > > > > 1. Verifica-se que 11111 é múltiplo de 41 (271*41=11111). > > 2. Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” > múltiplo de 5)] é múltiplo de 41. > > 3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução > Finita): > > {[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 + 11111} > é múltiplo de 41. > > Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5 é > múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e > 11111 é múltiplo de 5 (ver passo 1). > > > > Falta verificar que: > > Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n” dígitos > iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41. > > Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil... > > > > Para k=4: > > n = 5m + 4 > > a. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi > verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5. > > b. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41) > > c. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 > > d. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver > passo c); 1111 = 41*27 + 4 > > e. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 = 41(p+27) + 4 > > f. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 tem resto 4 > na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + > 1111 NÃO é múltiplo de 41. > > > > Agora, é só fazer para k=1, 2, 3. > > > > Albert Bouskela > > bousk...@msn.com > > > > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome > de Pedro Júnior > Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07 > Para: obm-l > Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit > > > > > > ---------- Mensagem encaminhada ---------- > De: Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> > Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01 > Assunto: Repunit > Para: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br> > > > Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e > somente se n é divisível por 5. > > > Desde já agradeço!!! > > Abraços. > > Pedro Jr > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
