Exatamente isso que estava a procura... Vou me inteirar, mas obrigadíssimo!!!
Abraços Pedro Jr João Pessoa - PB Em 18 de fevereiro de 2010 20:57, Tiago <[email protected]> escreveu: > Muito boa sua solução! > > 2010/2/18 Cesar Kawakami <[email protected]> > > Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente >> se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1 >> pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5 >> (10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o >> faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se, >> e somente se, n é divisível por 5. >> >> >> >> []'s >> Cesar >> >> 2010/2/18 Albert Bouskela <[email protected]>: >> > Novamente, olá! >> > >> > >> > >> > Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a >> mesma >> > metodologia >> > >> > >> > >> > Albert Bouskela >> > >> > [email protected] >> > >> > >> > >> > De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em >> nome >> > de Albert Bouskela >> > Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34 >> > Para: [email protected] >> > Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit >> > >> > >> > >> > Olá! >> > >> > >> > >> > Por Indução Finita, é fácil verificar que: >> > >> > >> > >> > Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é >> > múltiplo de 41. >> > >> > >> > >> > Lá vai: >> > >> > >> > >> > 1. Verifica-se que 11111 é múltiplo de 41 (271*41=11111). >> > >> > 2. Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” >> > múltiplo de 5)] é múltiplo de 41. >> > >> > 3. Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução >> > Finita): >> > >> > {[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 + >> 11111} >> > é múltiplo de 41. >> > >> > Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5 >> é >> > múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e >> > 11111 é múltiplo de 5 (ver passo 1). >> > >> > >> > >> > Falta verificar que: >> > >> > Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n” >> dígitos >> > iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41. >> > >> > Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente >> fácil... >> > >> > >> > >> > Para k=4: >> > >> > n = 5m + 4 >> > >> > a. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi >> > verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5. >> > >> > b. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41) >> > >> > c. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 >> > >> > d. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 >> (ver >> > passo c); 1111 = 41*27 + 4 >> > >> > e. [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 = 41(p+27) + >> 4 >> > >> > f. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 1111 tem >> resto 4 >> > na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 >> + >> > 1111 NÃO é múltiplo de 41. >> > >> > >> > >> > Agora, é só fazer para k=1, 2, 3. >> > >> > >> > >> > Albert Bouskela >> > >> > [email protected] >> > >> > >> > >> > De: [email protected] [mailto:[email protected]] Em >> nome >> > de Pedro Júnior >> > Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07 >> > Para: obm-l >> > Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit >> > >> > >> > >> > >> > >> > ---------- Mensagem encaminhada ---------- >> > De: Pedro Júnior <[email protected]> >> > Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01 >> > Assunto: Repunit >> > Para: obm-l <[email protected]> >> > >> > >> > Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e >> > somente se n é divisível por 5. >> > >> > >> > Desde já agradeço!!! >> > >> > Abraços. >> > >> > Pedro Jr >> > >> > >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> >> ========================================================================= >> > > > > -- > Tiago J. Fonseca > http://legauss.blogspot.com >
