Olá,
Outra questão interessante é perceber que dizer que "uma sequência {a_k}
converge para L" não implica que "a_j = L para algum j". Caso contrário, no
exemplo da sequência de Fibonacci, L = phi deveria ser racional.
Adalberto
Em 27 de outubro de 2010 13:41, Daniel da Silva Nunes
<klein...@globo.com>escreveu:
> Pois é! Interessante, não? Uma das formas de ver isso é por indução sobre n
> e usando a definição da seqüência de Fibonacci:
>
> a_(n+1) = a_n + a_(n-1)
>
> a_2 = 1
> a_1 = 0
>
> (não faz muita diferença os termos iniciais da sequência, desde que, claro,
> funcionem "para frente")
>
> Note que, para a_3, a_2 e a_1, temos o arranjo abaixo:
>
> Q_2 = a_3/a_2 = (a_2 + a_1)/a_2 = 1 + a_2/a_1 = 1 + 1/(a_1/a_2) = 1
>
> A partir daí é fácil provar por indução que a_(n+1)/a_n pode ser escrito
> como fração contínua com todos os termos iguais a 1, salvo o último, pois
>
> Q_n = a_(n+1) / a_n = 1 + 1/(a_n/a_(n-1)) = 1 + 1/Q_(n-1)
>
> Com isso, quando n tende a infinito, a razão tende à fração contínua com
> todos os termos iguais a um:
>
> Q_n --> Q = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + .....)))) = [1;1,1,1,1,1,1...]
>
> Para descobrir seu valor, note que Q = 1 + 1/Q.
>
> Q é a raiz positiva, justamente a razão áurea (1 + raiz(5))/ 2.
>
> Outra forma poderia ser através da relação de recorrência usando o
> polinômio característico (não tentei). Lá você consegue ver como os
> irracionais servem para formar cada número de Fibonacci!
>
> []s,
> Daniel
> Em 27 de outubro de 2010 12:15, luiz silva
> <luizfelipec...@yahoo.com.br>escreveu:
>
> Pessoal,
>>
>> Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
>> sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.....
>> Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.
>>
>> Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número
>> irracional ?
>>
>> Abs
>> Felipe
>>
>>
>
>
>
