Bom, se x_n é uma sequência convergente de números positivos, então seu limite
é maior ou igual a zero. Nunca negativo. Há uma infinidade de exemplos: 1/n^2,
e^(-n), etc.
Para construir uma sequência de racionais que convirja para um irracional p,
podemos fazer o seguinte:
Tome dois racionais r1 e r2 tais que r1 < p < r2 e faça a_1 = (r1 + r2)/2
Se a1 < p, faça a2 = (a1 + r2)/2; caso contrário, faça a2 = (r1 + a1)/2
Faça r1 = Min{a1, a2}, r2 = Max{a1, a2} e volte ao passo inicial, definindo a3,
E assim sucessivamente.
Você gera uma sequência a_n de racionais e uma sequência I_n de intervalos tais
que I_n contém p e a_n e os comprimentos dos I_n são cada vez divididos por 2.
Logo, o comprimento de I_n tende a zero e a_n --> p.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Johann Dirichlet
Enviada em: quinta-feira, 28 de outubro de 2010 17:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea
Poxa, alguém tem um exemplo de uma sequencia x_n que sempre é positiva
mas o limite não é?
Eu acho que 1/n tende a zero sempre sendo maior que zero, mas tem que
tomar cuidado com o "estritamente positivo".
P.S.: um treco legal sobre racionais tendendo a irracionais é o artigo
do Gugu na Eureka! 3, sobre frações contínuas. Se eu não me engano os
F/F são reduzidas da fração contínua da razão áurea.
Em 27/10/10, Ralph Teixeira<ralp...@gmail.com> escreveu:
> "Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional
> ?"
>
> Bom, como ilustração, pi é irracional, e é o limite da sequencia:
>
> 3
> 3,1=31/10
> 3,14=314/100
> 3,141=3141/1000
> 3,1415=31415/10000
> ...
>
> Acho que este exemplo deve te convencer que qualquer número irracional é
> limite de uma sequencia de racionais (razões entre inteiros).
>
> ---///---
>
> Para ponderar: raciocínios do tipo: "se cada x_n tem a propriedade P, então
> lim(x_n) tem a propriedade P" são muito naturais. Infelizmente, este tipo de
> raciocínio está frequentemente errado! Por exemplo, seu espanto acima seria
> representado pela frase:
>
> "se cada x_n é racional (quociente de inteiros), então lim(x_n), se existir,
> também será."
> (FALSO!)
>
> Outras frases FALSAS do mesmo tipo (todos os limites são quando n->+Inf):
> "se cada x_n é positivo, então lim(x_n) é positivo."
> "se cada x_n é menor que 1, então lim(x_n) é menor que 1" (que, no fundo no
> fundo, é o "problema" que o pessoal tem com 0,99999...=1)
> "se cada uma das funções f_n(x) é contínua, então f(x)=lim f_n(x) é
> contínua"
> "se cada uma das funções f_n(x) é derivável, então f(x)=lim f_n(x) é
> derivável"
>
> Bom, e assim por diante. O que eu quero dizer é que passar "um raciocínio"
> ao limite é perigoso (mas, quando funciona, é bem legal)
>
> Abraço,
>
> Ralph
>
>
> 2010/10/27 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br>
>
>> Pessoal,
>>
>> Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
>> sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.....
>> Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.
>>
>> Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número
>> irracional
>> ?
>>
>> Abs
>> Felipe
>>
>>
>
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