Em 28/11/10, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu: > Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros > conceitos alem do enunciado"? > Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras > técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com > uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de > teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o > teorema de Euler-Fermat, por exemplo). > > De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem: > > Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um > polinômio de grau n em k. > Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k. > > Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1. > A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma > modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para > todo n inteiro.
Como isso pode ser verificado? > > > Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor<victorcar...@globo.com> > escreveu: >> Olá Paulo, >> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas . >> >> Por indução : >> >> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato . >> 2) hipótese : válida para n fatores consecutivos. >> >> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P = k(k+1)....(k+n-1).(k+n) .Por >> hipótese k(k+1)....(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que >> o >> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1) >> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um >> dos >> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível >> por >> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ? >> >> Abraços >> >> Carlos Victor >> >> >> >> >> >> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo >> <argolopa...@hotmail.com>escreveu: >> >>> Obrigado, Tiago. >>> >>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use >>> propriedades >>> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: >>> gostaria de ver uma prova puramente aritmética. >>> >>> Abraços do Paulo! >>> >>> >>> >> > > > -- > /**************************************/ > Quadrinista e Taverneiro! > > http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins > http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em movimento > http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Henrique ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
