Sim, é verdade. A demonstração que conhço só requer conhecimentos em aritmética
elementar. Pode ser demonstrado facilmente. Farei isso usando somente conceitos
de números primos e fatoração.
Para determinar os divisores de um número ''inteiro positivo'' A^z (suponha que
A é um número primo) deve-se primeiro fatorá-lo e depois criar uma outra coluna
do lado direito dos fatores primos de A^z e no topo dela colocar 1( um é
divisor de qualquer número). Multiplica-se o primeiro fator primo de A^z por 1
e, sucessivamente, os fatores primos seguintes pelos produtos obtidos
anteriormente, tendo o cuidade de não obter produtos (divisores) anteriormente
repetidos. Assim teremos todos os divisores de A ao lado da fatoração, logo
D(A^z)={1 , A^1, A^2, A^3, A^4, A^5,... A^z}. Logo o NÚMERO de divisores de A^z
será 1+z. A condição para um número ser quadrado perfeito é que sua
decomposição em fatores primos produza expoente(s) multiplo(s) de 2. Logo, A^z
sendo quadrado perfeito terá um número de divisores ímpares, porque z é igual
a 2n (n é um número natural) e teremos então 2n+1 divisores para qualquer
quadrado perfeito.
From: [email protected]
To: [email protected]
Subject: [obm-l] quadrado perfeito
Date: Wed, 6 Apr 2011 22:45:01 +0000
é verdade que todo numero inteiro quadrado perfeito tem um número impar de
divisores?
isso é facil de demonstrar? para os casos mais simples da pra ver que sim.
