Essa série é a série Harmônica, ela diverge porque a *soma* dos seus termos vai para o infinito. Mais tecnicamente, a soma dos termos pode ficar tão grande quanto se queira aumentando a quantidade de termos. Existe uma prova clássica para iss, feita pelo Nicolau d'Oresme e é a seguinte: S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + ... S = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) + .. Perceba que os termos podem ser agrupados infinitamente dessa forma, tal que (1/3 + 1/4) > (1/4 + 1/4) = 1/2 (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) > (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) = 1/2 (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16) > (1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16) = 1/2 .... Portanto S > 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 12 .... que pode ficar tão grande quanto se queira (infinito), logo S também pode ficar tão grande quanto se queira (diverge).
Abraço
