Sauda,c~oes,
Obrigado João e Bernardo pelo interesse.
Vou começar pelo começo.
Quero resolver
4b^4 + 4b^3 + 2b^2 - 4b + 1 = 0.
Seguindo a receita, faço b = y/4 e caio em
y^4 + 4y^3 + 8y^2 - 64y + 64 = 0.
Faço y = x - 1 e elimino o termo em y^3.
Vem
x^4 + px^2 + qx + r = 0 (*)
com p=2, q=-72, r=133.
A cúbica resolvente de (*) é
u^3 - 2u^2 - 532u - 4120 = 0
A cúbica possui (como esperado) uma raiz racional.
u_1=-10. As outras são u_2=6-8\sqrt7 e u=6+8\sqrt7.
Pegando u_1 enrola as contas. Aí mandei a primeira mensagem.
Então vi que deveria pegar u .
As raízes de (*) saem da equação
(x^2 + u/2)^2 = (Ux + V)^2
com U=\sqrt{4 + 8\sqrt7} e V= \sqrt{24\sqrt7 - 12}.
Desfazendo as duas transformações, obtemos
a fatoração do polinômio original, na forma
(2b^2 + Ab + B)(2b^2 + Cb + D).
Vem:
A = 1 - \sqrt{1 + 2\sqrt7}
B = \frac{P}{4}
C = 1 + \sqrt{1 + 2\sqrt7}
D = \frac{Q}{4}
com
P = 2(1 + \sqrt7) - (\sqrt{1 + 2\sqrt7} + \sqrt{6\sqrt7 - 3})
Q = 2(1 + \sqrt7) + (\sqrt{1 + 2\sqrt7} + \sqrt{6\sqrt7 - 3})
Voltarei à origem desse problema numa outra
mensagem.
Abs,
Luís
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] fatorar polinomio
Date: Mon, 23 Jan 2012 19:43:37 -0200
http://www.wolframalpha.com/input/?i=A%2BC%3D4%2C++D+%2BB+%2B+++A+C++%3D+8%2C+A+D+%2B+B+C+%3D+-64%2C++B+D+%3D+64
Em Real Soluctions
Tem a opção Exact Form, é só clicar lá que aparece a forma exata
[]'sJoão
From: qed_te...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] fatorar polinomio
Date: Mon, 23 Jan 2012 20:55:02 +0000
Sauda,c~oes,
Gostaria de fatorar o polinômio
x^4 + 4x^3 + 8x^2 - 64x + 64 na forma
(x^2 + Ax + B)(x^2 + Cx + D).
Usando WolframAlpha o máximo que consegui foi
A=-3.0165735805
B=2.390218772169901
C=7.0165735805
D=26.775791716886353
Gostaria dos valores exatos (forma fechada)
para A, B, C, D.
Antes de usar um programa algébrico tentei resolver
a quártica. A cúbica resolvente tem L=-10 como raiz
e voltando pra quártica, temos:
(x^2 - 5)^2 = -12x^2 + 72x - 108
(x^2 - 5)^2 = -(12x^2 - 72x + 108)
(x^2 - 5)^2 = i^2 (2\sqrt{3} x - 6\sqrt{3})^2
Pensei que resolvendo (x^2 - 5) = i (2\sqrt{3} x - 6\sqrt{3}) e
(x^2 - 5) = -i (2\sqrt{3} x - 6\sqrt{3})
iria encontrar as raízes da quártica e daí a sua fatoração.
Mas as contas complexas complexas :) não me
permitiram chegar a lugar nenhum.
Uma resposta com um programa já seria bom mas gostaria
de ter o desenvolvimento completo dos cálculos.
Obrigado.
Abs,
Luís
