2012/2/14 Julio Teixeira <jcesarp...@gmail.com>: > bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa > dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como > prosseguir.. > > > Determine a equação de todas as retas que são tangentes à > circunferência x² + y² = 2y e passam pelo ponto (0,4). Bom, não sei muito bem que tipo de matéria é. Mas a minha solução favorita, de qualquer forma, é assim:
Desenhe a circunferência. Para isso, bote na forma "normal" x² + (y - 1)² = 1, ou seja, centro (0,1) e raio 1. Viu? É importante! Agora, considere o ponto (0,4). Ele está fora do círculo (porque 0² + (4-1)² = 9 > 1) e portanto por ele passam duas tangentes ao círculo. Por simetria (veja que o eixo dos y passa pelo centro do círculo), uma reta é tipo y = ax + 4 e a outra y = -ax + 4 Basta calcular a. (Note que, se os pontos não fossem esses, poderia haver uma reta vertical x = constante !). Jogue y = ax + 4 na equação do círculo para achar um ponto de interseção. Como você quer que seja uma reta tangente, a equação só pode ter uma solução. Portanto x² + (ax + 3)² = 1 tem Delta = 0 Ora, Delta = B² - 4AC, ou seja (6a)² = 4*(1 + a²)*8, dividindo por 4 dos dois lados 9a² = 8 + 8a², logo a = +- 2raiz(2). Veja que isso diz que "a e -a são solução", o que já era esperado. > Agradecido desde ja, aguardando retorno.. Observação: se você está fazendo geometria Cearense, o jeito "certo" é notar que a distância de (0,4) ao centro é d = 3, o raio é r = 1, logo o comprimento da tangente até o ponto de tangência é raiz(d² - r²) por Pitágoras, e você vê de novo o 2*raiz(2) entrando na história. Como a inclinação da reta é igual (semelhança de triângulos com o triângulo formado pelo cateto maior, altura e a parte da hipotenusa) ao quociente entre os catetos, taí a resposta! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================