2012/2/14 Julio Teixeira <jcesarp...@gmail.com>:
> bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa
> dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como
> prosseguir..
>
>
> Determine a equação de todas as retas que são tangentes à
> circunferência x² + y² = 2y e passam pelo ponto (0,4).
Bom, não sei muito bem que tipo de matéria é. Mas a minha solução
favorita, de qualquer forma, é assim:

Desenhe a circunferência. Para isso, bote na forma "normal" x² + (y -
1)² = 1, ou seja, centro (0,1) e raio 1. Viu? É importante!

Agora, considere o ponto (0,4). Ele está fora do círculo (porque 0² +
(4-1)² = 9 > 1) e portanto por ele passam duas tangentes ao círculo.
Por simetria (veja que o eixo dos y passa pelo centro do círculo), uma
reta é tipo
y = ax + 4
e a outra
y = -ax + 4

Basta calcular a. (Note que, se os pontos não fossem esses, poderia
haver uma reta vertical x = constante !). Jogue y = ax + 4 na equação
do círculo para achar um ponto de interseção. Como você quer que seja
uma reta tangente, a equação só pode ter uma solução. Portanto
x² + (ax + 3)² = 1
tem Delta = 0

Ora, Delta = B² - 4AC, ou seja (6a)² = 4*(1 + a²)*8, dividindo por 4
dos dois lados
9a² = 8 + 8a², logo a = +- 2raiz(2). Veja que isso diz que "a e -a são
solução", o que já era esperado.

> Agradecido desde ja, aguardando retorno..

Observação: se você está fazendo geometria Cearense, o jeito "certo" é
notar que a distância de (0,4) ao centro é d = 3, o raio é r = 1, logo
o comprimento da tangente até o ponto de tangência é raiz(d² - r²) por
Pitágoras, e você vê de novo o 2*raiz(2) entrando na história. Como a
inclinação da reta é igual (semelhança de triângulos com o triângulo
formado pelo cateto maior, altura e a parte da hipotenusa) ao
quociente entre os catetos, taí a resposta!

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================

Responder a