Outra ideia seria usar cálculo: A reta tangente ao ponto (P,Q) do círculo x^2+y^2=2y é...?
Derivação implícita: 2x*dx+2y*dy=2*dy x*(dx/dy)+y=1 dx/dy = (1-x)/y dy/dx = y/(1-x) Assim, a reta passando por (P,Q) deve ser tal que contenha o ponto (P,Q) e ter a inclinação (P/(1-Q)). E agora? y=(P/(1-Q))*x+n (aplica P,Q) Q-(P/(1-Q))*P = n (Q(1-Q) -P^2)/(1-Q) = (Q-Q^2-P^2)/(1-Q)=(Q-2Q)/(1-Q) = Q/(Q-1). Assim: (1-Q)*y = P*x - Q Pois bem, o ponto (0,4) não é da circunferência, aliás é externo, pois (0^2+4^2-2*4 > 0). Assim, temos que escolher P e Q de modo que o ponto (0,4) faça parte da reta. Trying so: (1-Q)*4 = P*0 - Q 4-4Q=-Q 4=3Q Q=4/3 Substitui e acha P: P^2+Q^2=2Q, P^2+16/9=24/9, P^2=8/9, P=+-2*sqrt(2)/3. Assim, temos a reta! Fiz na corrida, me corrijam, mas a ideia está aí! Em 14 de fevereiro de 2012 18:58, Julio Teixeira <jcesarp...@gmail.com> escreveu: > mt obrigado pelas explicacoes..eu estava tentando pela primeira > solucao que o senhor demonstrou, porem impaquei nos calculos, pois nao > cheguei a conclusao do delta ter que ser zero.. poderia me ajudar > nesse detalhe?..por que que para a reta ser tangente ao circulo o > delta tem que ser nulo, isso nao ficou mt claro pra mim.. mais uma vez > mt obrigado.. > > Agradecido, aguardando retorno.. > > Em 14 de fevereiro de 2012 17:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa > <bernardo...@gmail.com> escreveu: >> 2012/2/14 Julio Teixeira <jcesarp...@gmail.com>: >>> bom dia, estudando me deparei com este exercicio, onde encontrei certa >>> dificuldade e nao consegui resolve-lo, assim peco ajuda em como >>> prosseguir.. >>> >>> >>> Determine a equação de todas as retas que são tangentes à >>> circunferência x² + y² = 2y e passam pelo ponto (0,4). >> Bom, não sei muito bem que tipo de matéria é. Mas a minha solução >> favorita, de qualquer forma, é assim: >> >> Desenhe a circunferência. Para isso, bote na forma "normal" x² + (y - >> 1)² = 1, ou seja, centro (0,1) e raio 1. Viu? É importante! >> >> Agora, considere o ponto (0,4). Ele está fora do círculo (porque 0² + >> (4-1)² = 9 > 1) e portanto por ele passam duas tangentes ao círculo. >> Por simetria (veja que o eixo dos y passa pelo centro do círculo), uma >> reta é tipo >> y = ax + 4 >> e a outra >> y = -ax + 4 >> >> Basta calcular a. (Note que, se os pontos não fossem esses, poderia >> haver uma reta vertical x = constante !). Jogue y = ax + 4 na equação >> do círculo para achar um ponto de interseção. Como você quer que seja >> uma reta tangente, a equação só pode ter uma solução. Portanto >> x² + (ax + 3)² = 1 >> tem Delta = 0 >> >> Ora, Delta = B² - 4AC, ou seja (6a)² = 4*(1 + a²)*8, dividindo por 4 >> dos dois lados >> 9a² = 8 + 8a², logo a = +- 2raiz(2). Veja que isso diz que "a e -a são >> solução", o que já era esperado. >> >>> Agradecido desde ja, aguardando retorno.. >> >> Observação: se você está fazendo geometria Cearense, o jeito "certo" é >> notar que a distância de (0,4) ao centro é d = 3, o raio é r = 1, logo >> o comprimento da tangente até o ponto de tangência é raiz(d² - r²) por >> Pitágoras, e você vê de novo o 2*raiz(2) entrando na história. Como a >> inclinação da reta é igual (semelhança de triângulos com o triângulo >> formado pelo cateto maior, altura e a parte da hipotenusa) ao >> quociente entre os catetos, taí a resposta! >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
