Fala, Bernardo.
Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:
i) pelos trapézios (considerando n >= 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)] > int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!) > n . ln(n) - n + 1 + 1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k (*)
ii) vamos considerar agora a função 1/t (t >= 1) (novamente n >= 2).
Pensando mais uma vez em trapézios, consideremos os seguintes vértices:
[(t,0), (t,1/t), (t+1,0), (t+1,1/(t+1))]. Podemos escrever: sum_{k=1}^{n-1}
1/2 . [1/k + 1/(k+1)] > int_{1}^{n}. Mais algumas contas depois, teremos:
1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k > ln(n)/2 - 1/4 + 1/(4n) (**)
Substituindo (**) em (*), teremos: n! >= n^n . sqrt(n) / (exp((4n^2 - 3n
-1)/(4n))).
Quanto à segunda pergunta, sou formado em engenharia.
Abs.
