Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos "melhorar" sim as desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei as seguintes desigualdades:
n! >= n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) >= (**) n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) >= (*) n^n / (e^(n-1)), para todo n natural e maior ou igual a 1. Nota 1: a desigualdade (*) é obtida a partir dos retângulos tradicionais. A desigualdade (**) foi obtida a partir dos trapézios anteriormente descritos. Apenas corrigindo um pequeno trecho do meu email anterior: "Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar trapézios a partir dos vértices *[(t - 1,0), (t - 1,ln(t)-1/t), (t,0) e (t,ln(t)]* *(t >= 2)* (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto *(t,ln(t))* à curva ln(t))." Nota 2: a desigualdade (***) também segue dos trapézios acima mencionados, mas procurando aproximar melhor o somatório de 1/(2t) (1 <= t <= n).
