Como posso provar o limite x^(1/x), x-> infinito?
Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem algum erro? Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x-> Infinito = e^nDaí vem a parte meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito Se n é normal o limite é normal Além disso é óbvio que x^(1/x)>1 para x>1 Vamos supor agora que limite x^(1/x), x-> infinito = k, k>1Sendo k = 1+k', k'>1 normal É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x Temos x = (1+n/x)^x, x-> infinito -> x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x Vamos provar agora que e^(k'.x) > x, se x tende ao infinito Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal <x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) > x, se x tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? []'sJoão
