2012/4/5 Rogerio Ponce <[email protected]>:
> Oi Joao,
> reescrevendo o "x" como "e ^ ln(x)", o que queremos calcular e'
> e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x->inf.
>
> Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite,
> basta calcularmos o limite de
> ln(x)/x , quando x->inf.
>
> Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo
> (1/x) / 1 , que vale zero quando x-> infinito.
>
> Portanto, o limite procurado vale
> e^0 = 1
>
> []'s
> Rogerio Ponce
É claro que a solução do Rogério está certa, mas como ele deixou ao
critério do leitor de "acreditar na continuidade da exponencial", eu
bolei a seguinte idéia, inspirada (ora direis, roubada) do truque
exponencial de Cauchy.
Divida os reais em intervalos exponenciais: 2^n <= x < 2^(n+1)
Daí, 1 < x^(1/x) <= 2^{ (n+1)/2^n }
Mas (n+1)/2^n < 1/n para n suficientemente grande: isso é equivalente
a 2^n > n^2 + n. Assim, para x suficientemente grande, x^(1/x) <=
2^(1/n), que tende a 1.
Assim, quando você tem um limite que parece ser meio monótono (no
sentido de crescente / decrescente, não de chato!), vale a pena tentar
fazer uma substituição exponencial, muitas vezes "limpa" bastante o
campo. E (é claro) que isso é exatamente o análogo dos logaritmos do
Ponce, mas cada um tem um jeito preferido de fazer as contas ;) (eu
particularmente uso bastante log quando eu quero expansões em série)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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