Brilhante :) Eu sempre tenho o azar de fazer pelo jeito mais dificil kkkkk
Valeu mais uma vez rogerio, []s Joao > Date: Thu, 5 Apr 2012 21:07:50 +0000 > Subject: Re: [obm-l] Limite x^1/x > From: [email protected] > To: [email protected] > > Oi Joao, > reescrevendo o "x" como "e ^ ln(x)", o que queremos calcular e' > e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x->inf. > > Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite, > basta calcularmos o limite de > ln(x)/x , quando x->inf. > > Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo > (1/x) / 1 , que vale zero quando x-> infinito. > > Portanto, o limite procurado vale > e^0 = 1 > > []'s > Rogerio Ponce > > > Em 05/04/12, João Maldonado<[email protected]> escreveu: > > > > Como posso provar o limite x^(1/x), x-> infinito? > > > > > > Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem > > algum erro? > > Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x-> Infinito = e^nDaí vem a parte > > meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital > > como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que > > não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, > > digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao > > infinito > > Se n é normal o limite é normal > > Além disso é óbvio que x^(1/x)>1 para x>1 > > Vamos supor agora que limite x^(1/x), x-> infinito = k, k>1Sendo k = > > 1+k', k'>1 normal > > É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos > > n/x > > Temos x = (1+n/x)^x, x-> infinito -> x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x > > Vamos provar agora que e^(k'.x) > x, se x tende ao infinito > > Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente > > Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando > > x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x > > normal <x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) > x, se x > > tende ao infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão > > pequeno como queiramos, o limite tem que tender a 1 > > > > Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? > > []'sJoão > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
