Onde disse k' >1, na verdade e k'> 0
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Subject: [obm-l] Limite x^1/x
Date: Thu, 5 Apr 2012 17:08:34 -0300
Como posso provar o limite x^(1/x), x-> infinito?
Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem
algum erro?
Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x-> Infinito = e^nDaí vem a parte meio
conceitual:Vamos definir (por falta de palavras) um número infinital como um
número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao
infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração
do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito
Se n é normal o limite é normal
Além disso é óbvio que x^(1/x)>1 para x>1
Vamos supor agora que limite x^(1/x), x-> infinito = k, k>1Sendo k = 1+k',
k'>1 normal
É óbvio que k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x
Temos x = (1+n/x)^x, x-> infinito -> x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x
Vamos provar agora que e^(k'.x) > x, se x tende ao infinito
Derivando a função e^(k'.x)-x, temos k'.e^ (k'.x)-1, que é crescente
Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando
x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal
<x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x) > x, se x tende ao
infinito, qualquer que seja esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como
queiramos, o limite tem que tender a 1
Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil?
[]'sJoão
