> Sejam a,b,c reais tais que > a^12+b^12+c^12=8 > [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/abc= 6/(a+b+c) > > Calcule a^6+b^6+c^6.
2012/6/10 Thiago Tarraf Varella <[email protected]>: > mas desenvolvendo a 2a. equação na raça, obtém-se > a³ + b³ + c³ = 6abc > Isso deve ajudar... alguma sugestão do que fazer agora? Isso dá uma boa ajuda, mas acho que a conclusão final é que não dá para determinar (numericamente) a^6 + b^6 + c^6. Eu argumentaria assim: seja P(x) = x^3 - Ax^2 + Bx - C um polinômio cujas raízes são a, b e c. Daí, como todas as quantidades são homogêneas, vamos gastar braço e escrever tudo em função de A, B e C. Vai dar um monte de trabalho, mas azar. Daí, você obtém uma fórmula feia para S_12 e outra para S_6, as somas de potências (essa até é "bonitinha": 3 * S_6 = A^4 (A² - 3B) - 3B^3, se eu não me enganei.) Bom, a fórmula para S_12 é feia, mas não morde. Dá uma equação de grau 6 homogênea em A^2 e B, fixe um, ache o outro, dado que S_12 = 8. Bom, agora vem um argumento meio abstrato. Note que a região (S_12 = 8 inter S_3 = 6C) é de dimensão 1 em C^3 (e também em R^3, a menos que sejam pontos isolados, mas não é o caso), e por ser de dimensão 1, a gente chama de "curva". Note que ela pode ter várias partes (componentes conexas), mas isso não importa. Note também que o valor que a gente quer calcular é S_6, que também é homogêneo. Então há duas possibilidades: ou ele é constante nessa curva de dimensão 1 (e basta pegar uma solução qualquer a, b, c e ver o quanto dá), ou ela é não-constante em *cada componente da curva*, e (em C^3) assume *todos* os valores complexos possíveis em cada componente conexa. O mais legal é que essa dicotomia continua mais ou menos válida em R (que é o que nos interessa!), e o comportamento em R é o mesmo que o de C: se for constante em C, será em R (óbvio!), e a recíproca também vale. Bom, daí você apela para qualquer software de cálculo algébrico, bota a equação, chuta uns valores para B (ou A, tanto faz), pede pra resolver a equação do S_12, substitui no S_6, e vê se dá igual. Se eu não fiz nenhuma besteira no caminho, existem valores de A e B para os quais dá diferente. Note que os valores de A e B que eu escolhi, muito provavelmente vão dar uma equação em que um de a, b e c será complexo. Mas isso não importa, pelo que eu disse antes: se existir alguma forma de S_6 mudar, mesmo que passando pelos complexos, também será o caso se a, b e c forem apenas reais. Ufa! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
