Nao precisa lamentar...
:)
Apenas faltou incluir os ultimos digitos diferentes de zero quando ao
considerarmos os fatores multiplos de 10 (dezenas, centenas e milhares).
O que "atrapalhou" a abordagem anterior foi a presenca dos numeros
terminados em zeros e cincos (que tambem acabam gerando zeros ao serem
multiplicados por fatores pares).
O problema e' que ao multiplicarmos por 10, o ultimo digito diferente de
zero no numero original nao se altera, mas isso ja' nao funciona ao
multiplicarmos por 30, por exemplo. Entao, vamos separar tudo aquilo que
pode gerar zeros de tudo o que nao contribui para os zeros, ou seja vou
"retirar" os numeros que acabam em 5 e em 0, e mais um fator 4 (para
agrupar com os multiplos de 5) em cada grupo de 10 numeros.
Esse fator "4" vou conseguir da seguinte forma:
Nos grupos impares (1 a 10, 21 a 30, 41 a 50, etc) vou dividir o segundo e
o quarto termos por 2, de modo que os algarismos correpondentes se
transformem de "2" em "1", e de "4" em "2". Assim, o grupo de 21 a 30, por
exemplo, se transforma em
21 , 22/2=11 , 23 , 24/2=12 , 25 (sera' retirado), 26 , 27, 28 , 29 , 30
(sera' retirado)
gerando a sequencia
1 , 1 , 3 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9
cujos termos, quando multiplicados, geram um produto com o ultimo digito
igual a 4.
Nos grupos pares (11 a 20, 31 a 40, 51 a 60, etc) vou dividir o segundo e o
quarto termos por 2, de modo que os algarismos correpondentes se
transformem de "2" em "6", e de "4" em "7". Assim, o grupo de 11 a 20, por
exemplo, se transforma em
11 , 12/2=6 , 13 , 14/2=7 , 15 (sera' retirado) , 16 , 17 , 18 , 19 , 20
(sera' retirado)
gerando a sequencia
1 , 6 , 3, 7 , 6 , 7 , 8 , 9
cujos termos, quando multiplicados, geram um produto com ultimo digito
igual a 4.
Assim, qualquer grupo de 10 numeros consecutivos (1 a 10, 11 a 20, etc...)
, quando usado dentro do fatorial (sem considerar os multiplos de 5, e
"separando" o tal fator 4) contribui multiplicando por 4 o ultimo digito
diferente de zero.
Bem, para simplificar a escrita, chamemos de UD{x} o ultimo digito
diferente de zero em x.
Observando (mais uma vez) cada grupo de 10 numeros consecutivos em 7000!
(de 1 a 10, de 11 a 20, etc), vemos que:
UD{ 7000! } =
UD{ [(1*1*3*2*6*7*8*9) ** 350] * [(1*6*3*7*6*7*8*9) ** 350 ] * [(2*2)**700]
* [5*10*15*20*...*7000] } =
UD{ [4**700] * [4**700] * [5*10*15*20*...*7000] } =
UD{ [4**700] * [4**700] * [5**1400] * [ 1*2*...*1400] } =
UD{ [4**700] * [10**1400] * 1400! } =
UD{ [4**700] * 1400! }
Aplicando o mesmo raciocinio para 1400! , e sucessivamente, o resultado
procurado e'
UD{ [4**700] * [4**140] * 280! } =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * 56! } =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * 50! * (1*2*3*4*55*6) } =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * [4**5] * 10! * (1*2*3*4*55*6) } =
UD{ [4**700] * [4**140] * [4**28] * [4**5] * [4**1] * 2! * (1*2*3*4*55*6) }
Como UD{ 2! * (1*2*3*4*55*6) } = 4, a expressao acima se transforma em
UD{ [4**(700+140+28+5+1)] * 4 } =
UD{ [4**875]} = 4,
pois as potencias de 4 se repetem em um ciclo de 2, isto e'
UD{ 4**impar } = 4
UD{ 4**par } = 6
Assim, o ultimo digito diferente de zero em 7000! e' 4.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 26 de setembro de 2012 11:14, terence thirteen
<[email protected]>escreveu:
> Sinto informar mas o pari-gp afirma que este último dígito é 4.
>
> Em 23 de setembro de 2012 22:38, Rogerio Ponce <[email protected]>
> escreveu:
> > Ola' pessoal,
> > respondendo ao Terence: qual o ultimo digito de 7000! , diferente de
> zero?
> >
> > Bem, 8 e' o ultimo digito diferente de zero em fatorial de 10.
> >
> > Alem disso, sabemos que
> > 8**1 termina em 8
> > 8**2 termina em 4
> > 8**3 termina em 2
> > 8**4 termina em 6
> > 8**5 termina em 8 novamente, estabelecendo um ciclo de 4 potencias ate'
> que
> > o ultimo digito se repita novamente.
> >
> > Portanto, ao calcularmos o fatorial de 7000, partindo de 1, o que
> acontece
> > e' que a cada 10 numeros (de 1 a 10, de 11 a 20, etc) o ultimo digito
> > diferente de zero (no resultado) e' multiplicado por 8.
> >
> > Assim, depois de 7000/10 = 700 dezenas, o ultimo algarismo diferente de
> zero
> > vale o mesmo que o ultimo algarismo de 8**700.
> > Logo, vale 6.
> >
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 22 de setembro de 2012 13:03, terence thirteen <
> [email protected]>
> > escreveu:
> >>
> >> Quantos dígitos? Isso é a parte inteira de log(7000!)/log 10. Usando
> >> alguma aproximação acho que dá.
> >>
> >> mais divertido é saber qual o último dígito diferente de zero...
> >>
> >>
> >> Em 13 de setembro de 2012 18:37,
> >> <[email protected]> escreveu:
> >> >
> >> >
> >> > Ops , verdade, bom sendo assim use a aproximacao de um fatorial pela
> >> > fórmula
> >> > de stirling ok
> >> >
> >> > On Thu, 13 Sep 2012 09:55:57 -0400, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >> > wrote:
> >> >
> >> > 2012/9/13 ennius <[email protected]>:
> >> >
> >> > Prezados Colegas, Qual o melhor método para calcular quantos dÃgitos
> >> > tem o
> >> > fatorial de 7000 (ou de qualquer outro número natural grande)?
> >> >
> >> > Calcule o logaritmo em base 10.
> >> >
> >> > Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
> >> > soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
> >> >
> >> >
> >> >
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> >> 神が祝福
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> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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