Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>
> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
> - k +1)] .
>
> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
> [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
> sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>
> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>
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