1/sqr[x + sqr(x^2 - 1)] = sqr[x - sqr(x^2 - 1)] = sqr[(x + 1)/2) -
sqr[(x - 1)/2).
Assim:
sum_(i = 1)^(1921) f(i) = sum_(i = 1)^(1921) sqr[(i + 1)/2) - sum_(i =
1)^(1921) sqr[(i - 1)/2) = sqr(1922/2) + sqr(1921/2) - sqr(1/2).
Em terça-feira, 31 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
> Muito bom, Marcos. Obrigado.
>
> Pra terminar esta série de msgs, gostaria de tratar do
> problema 6 na p. 38,
>
> S(1921) = f(1) + ...... + f(1921) para f(k) = 1/(sqr(k) + sqr(k^2 - 1))
>
> Encontrei S(1921) = (sqr(2)/2)(sqr(1922) + sqr(1921) - 1).
>
> Esta certo?
>
> Luis
>
>
> ------------------------------
> Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
> Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
> From: mffmartine...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Na linha seguinte:
>
> * "{1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}"
>
> Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
>
> Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
>
> * "= 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)"
>
> Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
>
> A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
>
> Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k +
> 1)/(k^2 + k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2
> - k +1)] .
>
> Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
> [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k)] - [1/2 . sum{k = 1}^{100} f(k - 1)] + [1/2 .
> sum{k = 1}^{100} 1/(k^2 - k + 1)] = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 1}^{100}
> 1/(k^2 - k + 1) < 1/2 . f(100) + {1/2 . sum{k = 1}^{100} [-1/k + 1/(k -
> 1)]} = 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100).
>
> Agora, basta mostrarmos que: 1/2 . f(100) + 1/2 . (1 - 1/100) < 1/2 <=>
> 101/10101 + 1 - 1/100 < 1 <=> 101/10101 < 1/100 <=> 10100 < 10101 (V). c.q.d
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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>
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