Simples e elegante solução , valeu Ralph.
Em 3 de maio de 2014 23:50, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > Teoreminha: Se x=k.pi com k racional e 2cos(x) eh racional, entao 2cos(x) > eh inteiro. > > (Consequencia: os unicos valores do tipo que voce falou sao -1, -1/2, 0, > 1/2 e 1. Tah, voce falou do sinx, mas como cos(x)=sin(pi/2-x), dah no > mesmo.) > > Demonstracao: Suponha 2cosx=a/b com a e b inteiros primos entre si e > |b|>1. Entao 2cos(2x)=4(cosx)^2-2=(a^2-2b^2)/b^2 tambem eh racional. Alias, > esta fracao tambem eh irredutivel, pois a e b sao primos entre si, e nao eh > zero, pois raiz(2) eh irracional. > > Entao a sequencia 2cosx, 2cos2x, 2cos4x, 2cos8x, etc. terah infinitos > numeros racionais, todos distintos (olha aquele denominador elevado ao > quadrado, portanto aumentando, cada vez que eu dobro o angulo!). Mas isso > eh absurdo, pois se x=pi.p/q, todos aqueles angulos sao da forma pi.n/q com > n e q inteiros, e (exceto congruencia) soh ha 2q angulos deste tipo, a > saber, {0,pi/q,2pi/q,3pi/q,...(2q-1)pi/q)}. > > Abraco, Ralph. > > > 2014-05-03 15:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < > [email protected]>: > >> Ola amigos , estive pensando em sala de aula recentemente, em relação aos >> ângulos do primeiro quadrante e o valores de seus senos, como por exemplo, >> o sen(pi/6)=1/2, >> ai me veio a seguinte duvida, se existem outros ângulos da forma k(pi) >> com k racional que possuem senos racionais bonitinhos entre zero e um, sem >> ser o de 30 graus, e se não como poderíamos provar isso. >> Obs. Ainda nao tive tempo de pensar, mas gostaria de compartilhar a ideia >> com o grupo. >> >> Abs do Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
