a) A resposta é sim. A condição dada implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os mesmos primos p_1,..... p_k. De fato, se uma destas fatorações contivesse um primo ausente na outra, então o produto dos divisores da primeira conteria este fator primo que estaria ausente na fatoração do produto dos divisores da segunda. E não poderíamos então ter a igualdade citada.
Conforme sabemos, o produto dos divisores de m é m^(Dm/2), sendo Dm o número de divisores de m. Assim, m^ (Dm/2) = n^(Dn/2), o mesmo que m^Dm = n^Dn (1) Logo, provar que m = n equivale a provar que Dm = Dn Para i = 1,.... k, seja a_i o expoente de p_i na fatoração de m e b_i o expoente correspondente em n. Sabemos que Dm = (1 + a_1) ... * ... (1 + a_k) (2) Dn = (1 + b_1) ... * ... (1 + b_k) (3) De (1), segue-se que (p_1^a_1 .... * ... p_k^a_k)^Dm = (p_1^b_1 .... * ... p_k^b_k)^Dn de modo que, pelo teorema fundamental da aritmética, a_i Dm = b_i Dn, i = 1, .... k Assim, (a_1)/(b_1) ... = ... (a_k/b_k) = Dn/Dm (4) Se Dm != Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn. Logo, em virtude de (4), a_i < b_i para todo i = 1, .... k. Mas, em virtude de (2) e (3), isto implica que Dm < Dn, uma contradição que mostra que Dm = Dn. Conforme vimos, isto implica que m = n. b) Novamente a resposta é sim, para m e n compostos. É fácil ver que, se forem ambos primos, a igualdade m = n agora não tem que valer. E se um for primo e outro composto, a igualdade entre os produtos citados não pode se verificar (com a convenção usual de que o produto de um conjunto unitário com elemento não nulo é o próprio elemento ) Supondo m e n compostos, a prova é quase idêntica à do caso anterior. Novamente, vemos que as fatorações de m e de n contém exatamente os mesmos primos. O produto dos divisores de m,m sem contar o próprio m, é m^(Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade entre os produtos dos divisores citados ocorrerá se, e somente se, m^(Dm - 2) = n^(Dn - 2) Mais uma vez, teremos m = n se, e somente se, Dm = Dn Agora, a prova é similar à anterior, bastando substituir, nas equações do caso (a), Dm por Dm - 2 e Dn por Dn - 2. Veja que, como m e n são compostos, Dm, Dn >= 3. Logo, não há denominador nulo. Artur Costa Steiner > Em 04/05/2014, às 09:56, Merryl <[email protected]> escreveu: > > Bom dia a todos! > > Gostaria de ajuda com estas questões, onde m e n são inteiros positivos. > > a) Suponhamos que o produto dos divisores de m seja igual ao produto dos > divisores de n. Então, temos que m = n? Demonstração ou contra exemplo. > > b) Suponhamos que m e n sejam ambos compostos e que o produto dos divisores > de m, sem incluir m, seja igual ao produto dos divisores de n, sem incluir > n. Então, temos que m = n? Demonstração ou contra exemplo. > > Acho que em ambos os casos a resposta é sim, mas não consegui ainda chegar a > uma prova. > > Obrigada > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
