Bom dia!
A resposta é S = {(1,1) ; (1,-1) ; (3,5) ; (3;-5)}
Primeiramente é fácil verificar que n Ɛ 2 Z + 1.
Também temos que m Ɛ 2 Z + 1; pois, se m Ɛ 2 Z ==> que 3^m é um quadrado
perfeito e não existem dois quadrados perfeitos cuja diferença dê 2.
O que falta formalizar é que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 =< 3^(2x+3) -
[3^(x+1)*raiz(3)]^2 (i), onde [t] Ɛ Z e t-1 < [t] =< t. (parte inteira)
para todo x>0.
Assim como para x =2 temos que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 = 18, para
qualquer x > 2 a diferença aumentará e não haverá solução.
então só teremos solução para x= 0 ou x= 1.
x=0 ==> m = 1 ==> 3 = n^2 +2 ==> n = 1 ou n = -1.
x=1 ==> m =3 ==> 27 = n^2 +2 ==> n= 5 ou n= -5.
Porém a solução não está completa, pois falta formalizar a demonstração de
(i)
Estou meio sem tempo, mas tenho pensado nos intervalos. Se alguém ajudar e
conseguir, fica resolvido o problema.
Saudações,
PJMS
Em 4 de janeiro de 2015 18:31, terence thirteen <[email protected]>
escreveu:
>
>
> Em 26 de dezembro de 2014 18:46, marcone augusto araújo borges <
> [email protected]> escreveu:
>
>> Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2
>>
>> --
>>
>
> m=0, não serve.
> m=1, n=1 serve
>
> Suponha m>1.
>
> Módulo 9: n^2+2=0
> 4^2+2=18
> n=4 ou 5 módulo 9.
> E n é ímpar, pois 3^m-2 é ímpar.
>
> Módulo 4: 3^m=3, 3^(m-1)=1, m é ímpar.
>
> 3^m-3 = n^2-1
> 3*(3^(m-1)-1) = (n-1)(n+1)
>
> - n = 9k+4
>
> 3*(3^a-1)=(9k+3)(9k+5)
> (3^a-1)=(3k+1)(9k+5)
>
> Empaquei
>
>
>
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> 神が祝福
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> Torres
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
