Bom dia! Só uma observação.
Se usarmos de rigorismo, deveremos fazer a restrição n>0, pois, 1 não divide um produto de uma sequência sem termos, ou seja uma sequência vazia. Saudações, PJMS Em 16 de novembro de 2016 21:12, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Obrigado Pedro José > > Em 16 de novembro de 2016 10:29, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: > >> Bom dia! >> >> O fato de haver um múltiplo para cada fator do fatorial não garante a >> divisibilidade, posto que os múltiplos não são necessariamente diferentes e >> nem todos os pares de fatores tem mdc igual a 1. >> >> Se zero fizer parte da sequência, está provado. pois n! | 0 para todo n. >> >> Veremos agora as sequências em que o zero não faz parte. >> O produto de uma sequência de inteiros positivos, consecutiva de a-n+1, >> a -n+2 ... a-1, a dividido por n! é o número combinatório de a n a n. >> C(a,n); portanto inteiro. Caso seja uma sequência de fatores negativos, >> o produto será (-1)^n. P, onde P é o produto dos módulos dos fatores da >> sequência, e por conseguinte também é múltiplo de n!. >> >> De outra forma, se fatorarmos n! >> >> Temos que para cada p, primo, p<= n, que o expoente, a, de p na >> fatoração é: >> >> a = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... e embora a série seja infinita a >> parir de uma dada parcela todos os termos são zero e {z] é a função parte >> inteira de z. >> >> Seja Y= (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x => Y = x!/(x-n)!, com x-n+1>= 1 >> >> Seja b o expoente da fatoração de Y, c o expoente da fatoração de x! e d >> o expoente da fatoração de (x-n)!. >> >> Então, b= c-d. >> >> c= [x/p] + [x/p^2] + [x/p^3] + ... >> >> d= [(x-n)/p] + [(x-n)/p^2] + [(x-n)/p^3] + ... >> >> x = r mod p^w, w um inteiro positivo e p, primo e p <= n e 0<= r <p^w >> n = s mod p^w e 0<= s <p^w >> >> temos que x= q1*p^w + r e n= q2*p^w+s >> >> >> Então [x/p^w] = q1, [n/p^w]=q2 >> >> [(x-n)/p^w] = [(q1-q2)*p^w+r-s] = q1-q2 se r>=s e q1-q2-1 se r<s. >> >> Então [x/p^w] - [(x-n)/p^w] = q2 se r>=s e q2 +1 se r<s.==> [x/p^w] - >> [(x-n)/p^w >= [n/p^w]=q2 >> >> Se cada parcela de a é menor ou igual que cada subtração das parcelas >> correspondentes de c-d, temos que para todo p <= n o expoente de p na >> fatoração de n! é menor ou igual que o expoente correspondente a p na >> fatoração de Y. >> >> Se for uma sequência de termos negativos, vale a mesma observação >> destacada acima. >> >> Então n! | (x-n+1)(x-n+2) ...(x-1).x, para qualquer x. >> >> Saudações,~ >> PJMS >> >> >> Em 4 de novembro de 2016 06:03, Guilherme Oliveira < >> guilhermeoliveira5...@gmail.com> escreveu: >> >>> Verdade, tem isso. >>> >>> Talvez seja melhor mudar de estratégia. >>> Imagine um número primo p < n. Como a sequência de n! começa em 1, só >>> teremos o primeiro múltiplo de p na p-ésima posição. Somente por causa >>> disso a divisão dá certo. Se kp é o maior multiplo de p menor que n, >>> teremos pelo menos k fatores p na sequência. O mesmo raciocínio pode ser >>> feito para p^2, p^3, .... , o que completa o número de fatores p na >>> sequência necessários para que ela seja divisível por n!. >>> >>> Isso também explica porque uma sequencia p não é necessariamente >>> divisível por outra sequência q. >>> >>> Em 04/11/2016 05:16, "Tássio Naia" <t...@polignu.org> escreveu: >>> >>>> > n! contém um de cada fator anSe pegarmos uma sequência de n inteiros, >>>> temos a certeza de que há pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que >>>> k<n. Isso é válido para to k que seja um fator de n!tes dele. Seja k como >>>> um desses desses fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros >>>> consecutivos, começando por 0. >>>> > Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há >>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to k >>>> que seja um fator de n! >>>> >>>> Mas e se k, k', com 1< k < k' <= n têm o *mesmo* múltiplo no intervalo >>>> p, p+1, ... , p + n -1 ? (Por exemplo, k=2, k' = 4) >>>> >>>> 2016-11-03 22:52 GMT+00:00 Guilherme Oliveira < >>>> guilhermeoliveira5...@gmail.com>: >>>> >>>>> Boa noite, Israel. >>>>> >>>>> n! contém um de cada fator antes dele. Seja k como um desses desses >>>>> fatores (k<n). Ele terá um múltiplo a cada k inteiros consecutivos, >>>>> começando por 0. >>>>> >>>>> Se pegarmos uma sequência de n inteiros, temos a certeza de que há >>>>> pelo menos um múltiplo de k entre eles, já que k<n. Isso é válido para to >>>>> k >>>>> que seja um fator de n! >>>>> >>>>> Portanto, Essa sequência é divisível por n! >>>>> >>>>> Em 3 de novembro de 2016 12:59, Israel Meireles Chrisostomo < >>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Olá pessoal como posso provar que n! divide o produto de quaisquer n >>>>>> inteiros consecutivos >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> >>>>> >>>>> *______________________________________________________________________________________* >>>>> >>>>> *“A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho >>>>> original.”* >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> *Albert Eistein* >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.