Bom dia!
Desculpe-me pela solução. Não consegui nada elegante, fui para grosseria.
Fui fatiando.
1) a >= max(b,c)
(i) a=b=c ==> b<=3; pois a^b+b^c> a^b e a^b>abc=a^3 se a>4.
Por paridade só 2 atende, testando é solução. (2,2,2)
(ii) a=b>c ==> b<=2; pois, a^3 +b^c> a^3>abc=a^2c
b=1 absurdo, pois b>c.
a=2 e b=2 ==>c=1, não atende.
(iii) a=c>b ==>b<=2; pois a^3+b^c>a^3>abc=a^2b.
b=1 ==> a+1 = ac ==> a| a +1 ==> a =1; absurdo pois a>b=1.
b=2 ==> a^2 +2^c = 2ac ==> a= c [image: Imagem inline 1] raiz (c^2-2^c)
c^2 cresce mais lentamente que c^2 para c>=3. Portanto c<=4, pois 5^2 < 2^5.
c=2 ou c=3 ou c=4.
c=2 ==> a= 2 e b=1, não atende; pois b=2.
c=3 ==>a=4, não atende a restrição(iii) a=c.
c=4 ==>a=c=4 e b=2, atende. outra solução. (4,2,4)
(iv) a>max (b,c)
b<=2; pois, a^3+b^c > a^3>abc
a= c [image: Imagem inline 1] raiz (c^2-2^c). Novamente temos a restrição
c<=4.
c=1 ==> a= 1; não atende (iv)
c=2 ==> a=c=b; não atende (iv)
c=3 ==> a= 4 atende. (4,2,3) é solução.
c= 4 não atende (iv); pois, a=b=4
Agora é partir para o complemento de 1)
2) a < max(b,c)
(i) b >= c
b>=c ==> c<=2; pois, a^b+b^3>b^3>abc.
c=1 ==> a^b+b = ab ==> a^b < ab ==> a^(b-1) < b ==> a=1 ==> 1+b =b, absurdo.
para a>=2: a^(b-1) > b; pois b>a.
(ii) c > b
Para b=1 ==> a + 1 =ac ==> a | a + 1 ==> a=1 ==> c=2; atende (1,1,2) é
solução
Para b=2 ==> a^2 + 2^c = 2ac ==> 2^c < 2ac ==> 2^(c-1) <ac<c^2
Mas 2^(c-1) > c^2 para c>6.
Então:
c=3, c= 4 ou c= 5 ou c=6.
c=3 ==> a^2+8 =6a ==> a=2 ou a= 4. a=4 fere 2).
(2,2,3) atende.
c=4 ==> a^2 + 16 = 8a ==> a=4=c não atende 2.
c=5==> a^2 + 32 = 10a ==> não há raízes reais , não atende.
c= 6 ==> a^2 + 64 = 12 a ==> não há raízes reais , não atende.
Para b >=3 ==> b^(c-1) > c^2, não há mais soluções.
s= {(2,2,2); (4,2,4); (4,2,3); (1,1,2); (2,2,3)}
Foi na marra, sem talento, mas acho que são só esses 5 ternos.
Saudações,
PJMS.
Em 6 de julho de 2017 23:25, Douglas Oliveira de Lima <
[email protected]> escreveu:
> Opa , sim, é a•b•c
>
> Em 6 de jul de 2017 11:14 PM, "Carlos Nehab" <[email protected]>
> escreveu:
>
>> Oi, Douglas,
>>
>> Esse "abc" é a x b x c (produto) ou o inteiro de algarismos a, b e c
>> (100a+10b+c)?
>>
>> Abs
>> Nehab
>>
>>
>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>
>> Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>.
>>
>> <#m_2930426211637426034_m_1267597801263667645_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em 6 de julho de 2017 14:03, Douglas Oliveira de Lima <
>> [email protected]> escreveu:
>>
>>> Encontrar todos os inteiros positivos a,b e c tais que a^b+b^c=abc.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.
>
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acredita-se estar livre de perigo.
