Bom dia! Consegui entender como o Anderson chegou a solução. E realmente é 3^n no denominador, ou seja, (10^k-1)/3^n, onde 10^k = 1 mod3^n. E o número m, de algarismos zeros, que deve ser acrescidos a esquerda do resultado acima é o menor inteiro m, que atende 10^(m+1) > 3^n. Para o caso particular 1/3^2002, seriam 955 algarismos zeros inseridos a esquerda.
Saudações, PJMS Em 22 de novembro de 2017 11:45, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Bom dia! > > Não entendi como o Anderson chegou a solução, para determinar o período > propriamente dito. Todavia fiz um experimento e realmente dá certo para > (10^k-1)/3^n. Acho que ele se enganou e reportou n somente ao invés de > 3^n. > Todavia, em alguns casos, precisa colocar algarismos zeros a esquerda do > resultado > Por exemplo para 1/3^3. > O menor expoente que satisfaz 10^k= 1 mod27 é k= 3 > então o período seria (10^3-1)/3 = 37. > Porém, usando a fórmula proposta pelo Bernardo, o número de algarismos do > período seria = 3^(3-2) = 3. > Portanto, seria necessário completar com "zeros" a esquerda para alguns > casos e creio que seja 3^2002 no denominador e não 2002, como apresentado. > > O mesmo acontece para 1/3^4 > a ordem de 10 mod81 é 9 > então o período daria (10^9-1)/81 = 12345679. > Porém o número de algarismos do período é, segundo o Bernardo, e com > propriedade: 3^(2)=9 e novamente precisamos acrescentar um algarismo zero a > esquerda. > > Um outro ponto, é quanto a quantidade de átomos do universo. É uma > estimativa, e para o universo observável, ou seja, cuja distância a partir > de um observador é menor ou igual do que a distância percorrida pela luz, > desde o Big Bang até o instante de observação. Minha crença é de que o > universo é infinito e não limitado a três dimensões, as três dimensões é > uma limitação nossa e não existencial. Mas... > Ademais, a estimativa além de considerar o universo como finito, despreza > possíveis fontes de átomos, só considerando os das estrelas e usa > equivalência para átomos de Hidrogênio. > > Bernardo, > pode ficar tranquilo que a ordem de grandeza, tradicional, para a > estimativa da quantidade de átomos do universo é 10^80 (na verdade a > estimativa é 4 * 10^79, mas como 4 > 3,16 a ordem é 10^80). > Já eu tenho que tomar um remédio para memória que é muito bom, > sensacional. Se alguém precisar, posso passar o nome depois, pois não > lembro o nome. Fiquei em dúvida, agora, não me lembro se tomei o remédio > hoje ou não. > > Saudações, > PJMS. > > > > Em 21 de novembro de 2017 23:27, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2017-11-21 22:41 GMT-02:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> >> : >> > Que treta... Bem, a ideia seria descobrir a potência de dez que deixa >> > resto um módulo 3^2002, e daí realizar a divisão longa >> > ((10^k-1)/2002)... >> > >> > Em 21 de novembro de 2017 17:13, Vinícius Raimundo >> > <vini.raimu...@gmail.com> escreveu: >> >> Encontre o período na representação decimal de 1/3^2002 >> >> Eu acho que por "o período" o enunciado quer dizer o número de dígitos >> no período, (assim 1/3 = 0.33333... tem período 1, 1/7 = >> 0.142857142... tem período 6, etc). >> >> E neste caso uma solução por recorrência mostra que o período é >> 3^{n-2} para n >= 2 (se não me falha a memória). Se for isso, basta >> mostrar que 10^{3^n} - 1 é divisível por 3^{n+2}, mas não por 3^{n+3}. >> Com n=0, isso é 10^1 - 1 é divisível por 9 = 3^2, o passo de indução >> você usa (a-1)^ = a^3 - 3a^2 + 3a - 1. Agora, calcular a parte >> periódica, vai demorar... Se eu acertei as contas, tem "só" 3^2000 >> dígitos, que é muito mais do que o número de átomos no universo (por >> volta de 10^{80}, de novo de memória) :) >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.