Corrigindo alguns pontos. Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz >>>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2) Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³ >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos: sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2} (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) Desfazendo a substituição, teremos que 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3) Somando (3) com (1), obtemos: xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz) Que é equivalente a xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido. Saudações, Israel Meireles Chrisostomo. Em 16 de agosto de 2017 14:30, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A > desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>> > (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz > >>>> > (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2) > Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz > Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com > lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos > (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³ > >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³ > -(x+y+z)(xy+xz+yz) > Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos: > sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ > -(x+y+z)(xy+xz+yz)) > Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2} > (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) > > Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos > a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) > Desfazendo a substituição, teremos que > 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3) > Somando (3) com (1), obtemos: > xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz) > Que é equivalente a > xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz > O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo > x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas > acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido. > > > Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x >> +z)+yz(y+z). >> >> Douglas Oliveira . >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.