Outra ideia: seja 4 = n, e considere x_i/(x_i + y_i), onde y_i é um "deslocamento" dos x; ou seja, x = [a,b,...,c,d], y = [b,...,c,d,a] têm cada um n elementos. O último exemplo do Ralph mostra que x/(x+y) pode estar arbitrariamente próximo de [1,1, ..., 1, 0]. Daí, se estivermos neste caso, basta notar que d/(d+a) (enfim, o último dividido pela soma deste com o primeiro) será menor do que d/(d+c), já que a >= b >= ... >= c. Assim, c/(c+d) + d/(d+a) <= c/(c+d) + d/(c+d) = 1. Ufa! Assim, com n termos, temos que a soma vale, no máximo, n-1. (Para a desigualdade estrita é fácil, basta ver que nenhum dos outros termos dá 1.)
Para completar a demonstração no caso geral, separe o caso "geral", onde a sequência tem mais de um mínimo local, e o caso monótono decrescente (como a escolha do "primeiro elemento" não importa, já que é circular, este sempre pode ser escolhido como o maior de todos). Outro agradecimento ao Ralph por ter sugerido "maximizar" a expressão. On Mon, Jun 10, 2019 at 9:06 PM Ralph Teixeira <[email protected]> wrote: > > Ah, errei sim! Poderia ser a≥b≥c≥d≤a, claro! :-( > > On Mon, Jun 10, 2019, 21:55 Ralph Teixeira <[email protected]> wrote: >> >> Uma ideia: cada uma das 4 frações é <1... Se você mostrar que duas delas são >> ≤ 1/2, acabou o problema. >> >> Então, se a≤b≤c então a/(a+b)≤a/(a+a)=1/2, e idem para b/(b+c). De fato, se >> houver 3 números consecutivos em ordem crescente na lista cíclica (a,b,c,d), >> este argumento mata o problema. >> >> Agora, para não ter 3 em ordem crescente no ciclo, você vai ter que ter >> a≤b≥c≤d≥a (ou exatamente o contrário disso tudo, que é análogo). Mas então >> a/(a+b)≤1/2 e c/(c+d)≤1/2 também! >> >> Abraço, Ralph. >> >> P.S.: meu raciocínio parece ter muita "folga", errei algo? Alguém sabe se o >> máximo daquela expressão está perto de 3 mesmo? >> >> >> >> On Mon, Jun 10, 2019 at 11:12 AM Carlos Monteiro >> <[email protected]> wrote: >>> >>> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então >>> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+a) < 3 >>> -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
