Acho que consegui aqui, uma dica é usar a desigualdade de Cauchy-Scwharz.Vou acrescentar essa questão ao meu PDF.
Em 16 de agosto de 2017 16:42, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > Desconsidere as minhas duas última respostas, estão erradas > > Em 16 de agosto de 2017 14:39, Israel Meireles Chrisostomo < > [email protected]> escreveu: > >> Corrigindo alguns pontos. >> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A >> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>> >> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz >> >>>> >> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2) >> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz >> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo >> com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos >> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³ >> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³ >> -(x+y+z)(xy+xz+yz) >> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos: >> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ >> -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2} >> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >> >> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos >> a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >> Desfazendo a substituição, teremos que >> 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3) >> Somando (3) com (1), obtemos: >> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz) >> Que é equivalente a >> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz >> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo >> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, >> mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido. >> >> Saudações, Israel Meireles Chrisostomo. >> >> Em 16 de agosto de 2017 14:30, Israel Meireles Chrisostomo < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).... (1).A >>> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>> >>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz >>> >>>> >>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz.... (2) >>> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz >>> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo >>> com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos >>> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)<x³+y³+z³ >>> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<x³+y³+z³ >>> -(x+y+z)(xy+xz+yz) >>> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, >>> temos: >>> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ >>> -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >>> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2} >>> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >>> >>> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos >>> a³+b³+c³-3abc<sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz)) >>> Desfazendo a substituição, teremos que >>> 2x³+2y³+2z³-12xyz<x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz) (3) >>> Somando (3) com (1), obtemos: >>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz) >>> Que é equivalente a >>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz >>> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo >>> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, >>> mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido. >>> >>> >>> Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x >>>> +z)+yz(y+z). >>>> >>>> Douglas Oliveira . >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >> >> >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
