A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica, então g é unformemente contínua.
Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua. Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja periódica. Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua, periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n - v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) = f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é uniformemente contínua e, portanto, não é periódica. Artur Costa Steiner Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" <[email protected]> escreveu: f é periódica (digamos, de período T > 0). Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P. Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: > Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre > que g(x) = f(x^2) não é periódica. > > Artur > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
