Em 18 de abril de 2018 08:56, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Com certeza! > Mas o que eu quero é uma prova DIRETA de que é impossível escolher os b(i) > de modo que o número 0,b(1)b(2)b(3)... seja irracional.
Isso me parece bem mais chato, e daria a mesma volta. Parece absurdamente natural se perguntar "se ele é racional, qual é sua posição na lista?" e não algo como "se ele é racional, qual é o tamanho de seu período e da parte que não repete?". > > []s, > Claudio. > > > 2018-04-18 8:32 GMT-03:00 Thácio Hahn dos Santos <thaci...@gmail.com>: >> >> Não se garante, neste caso, que todo número formado pelos b(i) seja >> racional, não obtendo-se, portanto, a procurada bijeção entre racionais e >> naturais. Ela pode ser obtida percorrendo diagonalmente uma tabela contendo >> todas as frações, começando por 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3 ... na >> primeira linha, 2/1, -2/3, 2/2, -2/2, 2/3, -2/3 ... na segunda e assim por >> diante. O conjunto das frações equivalentes como 1/2 e 2/4 é enumerável e >> pode ser descartado, restando uma bijeção entre racionais e inteiros (que >> são enumeráveis). >> >> Um abraço. >> >> On Wed, Apr 18, 2018, 7:58 AM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> >> wrote: >>> >>> Agora, uma pergunta: >>> >>> E se fossemos fazer uma lista de todos os racionais (dízimas periódicas) >>> entre 0 e 1 (por exemplo, escolhendo, quando houver ambiguidade, a versão >>> que termina por 9999...)? >>> Neste caso, o método da diagonal deveria falhar, certo, já que Q inter >>> (0,1) é enumerável? >>> Mas, de cara, me parece possível escolher, para todo i em N, um algarismo >>> b(i) diferente de a(i,i) (= i-ésimo algarismo do número na i-ésima linha da >>> lista). >>> Como pode? >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-04-17 22:52 GMT-03:00 Anderson Torres >>> <torres.anderson...@gmail.com>: >>>> >>>> Em 15 de abril de 2018 09:43, Luiz Antonio Rodrigues >>>> <rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>> > Olá, Ronei! >>>> > Fiz essa pergunta para o Bernardo... >>>> > Um abraço! >>>> > Luiz >>>> > >>>> > >>>> > On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró <rlbad...@gmail.com> >>>> > wrote: >>>> >> >>>> >> Não é a tal diagonal de Cantor? >>>> >>>> Sim, é este o nome. >>>> >>>> >> >>>> >> Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa >>>> >> <bernardo...@gmail.com> escreveu: >>>> >>> >>>> >>> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues >>>> >>> <rodrigue...@gmail.com>: >>>> >>> > Olá, amigos! >>>> >>> > Bom dia! >>>> >>> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho >>>> >>> > que >>>> >>> > eu >>>> >>> > reproduzi abaixo. >>>> >>> > >>>> >>> > >>>> >>> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é >>>> >>> > possível >>>> >>> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos. >>>> >>> > (...) >>>> >>> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os >>>> >>> > termos >>>> >>> > são iguais a zero ou um. >>>> >>> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada >>>> >>> > sequência de >>>> >>> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma >>>> >>> > sequência s >>>> >>> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: >>>> >>> > se o >>>> >>> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é >>>> >>> > 1; >>>> >>> > senão, é >>>> >>> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo >>>> >>> > de s >>>> >>> > é 1; >>>> >>> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo >>>> >>> > s(n) >>>> >>> > como >>>> >>> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s >>>> >>> > assim >>>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). >>>> >>> > Logo, >>>> >>> > não >>>> >>> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os >>>> >>> > elementos de >>>> >>> > C aparecessem como imagem! >>>> >>> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de >>>> >>> > construir uma >>>> >>> > bijeção de N em C. >>>> >>> > >>>> >>> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s >>>> >>> > assim >>>> >>> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)." >>>> >>> >>>> >>> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo. Claro que um >>>> >>> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada. >>>> >>> >>>> >>> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma: >>>> >>> 1 -> 0100101010101 >>>> >>> 2 -> 010101010101 >>>> >>> 3 -> 1111111111001 >>>> >>> 4 -> 000000000000 >>>> >>> 5 -> 1110111010101 >>>> >>> >>>> >>> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de >>>> >>> cada um dos elementos, um a um: >>>> >>> >>>> >>> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1). >>>> >>> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um: >>>> >>> >>>> >>> s = 1.... >>>> >>> >>>> >>> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que >>>> >>> é 1): >>>> >>> >>>> >>> s = 10.... >>>> >>> >>>> >>> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100... >>>> >>> O quarto, s = 1001... >>>> >>> O quinto, s = 10010 >>>> >>> >>>> >>> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ... >>>> >>> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1). O >>>> >>> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante. >>>> >>> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu >>>> >>> esbocei >>>> >>> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois >>>> >>> cria >>>> >>> a sequência dos opostos. >>>> >>> >>>> >>> Abraços, >>>> >>> -- >>>> >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>>> >>> >>>> >>> -- >>>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> >>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>>> >>> >>>> >>> >>>> >>> ========================================================================= >>>> >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> >>> >>>> >>> ========================================================================= >>>> >> >>>> >> >>>> >> -- >>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>>> > >>>> > >>>> > -- >>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> > acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> >>>> ========================================================================= >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
